Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme \definitionsverweis {Idealerzeuger}{}{} für die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { t } { \left( t^2 , \, t^3 , \, t^4 \right) } {,} gegebene \definitionsverweis {monomiale Kurve}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme \definitionsverweis {Idealerzeuger}{}{} für die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { t } { \left( t^4 , \, t^5 , \, t^6 \right) } {,} gegebene \definitionsverweis {monomiale Kurve}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F
}
{ \subseteq }{ S_F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {ganzen Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wo es einen
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^ 2-3X+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { Y^3-Y^2+4Y-5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Begründe, dass die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { \Z[X,Y]/(P,Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
ist und finde eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
für
\mathl{x+y}{} und für $xy$
\zusatzklammer {kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {R} {und} {S} {.}
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { R[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {als Algebra} {} {}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} { R } { S } {} ein \definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} und \maabb {} { R } { R' } {} ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch \maabbeledisp {\varphi'} {R'} { R' \otimes_{ R } S } { f } { f \otimes 1 } {,} ganz ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { K [X,Y]/(X^2+Y^2-1) } { K[U,V]/ \left( U^2+V^2-1 \right) } {(X,Y)} { \left( U^2-V^2,2UV \right) } {,} über jedem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {ganz}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
der Form
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ K[X]
}
{ \subseteq} { K[X] [Y]/ \left( Y^n+ P_{n-1}(X)Y^{n-1} + \cdots + P_{2}(X)Y^{2} +P_1(X)Y+ P_0(X) \right)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i(X)
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei der Erweiterungsring
\definitionsverweis {integer}{}{}
sei. Es sei $k$ derart, dass der Grad von $P_i$ höchstens
\mathl{k(n-i)}{} ist für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ =} { 0,1 , \ldots , n-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann $YX^{-k}$ eine Ganzheitsgleichung vom Grad $n$ über $K[ X^{-1} ]$ erfüllt, und dass die zugehörige Erweiterungsalgebra
\mathl{K[ X^{-1}, YX^{-k} ]}{} den gleichen Quotientenkörper wie $R$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Zeige, dass $R$
\definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{}
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} ist.
} { Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschlossen ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das durch
\mathl{3,5,7}{} erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.
}
{} {\zusatzklammer {Vergleiche
Aufgabe 10.26} {} {.}}