Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei ${}K[M]$ der Monoidring zu ${}M$ über einem Körper ${}K$ und es sei

${}R=K[M]_{\mathfrak {m}}\,$

die Lokalisierung am maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=K[M_{+}]=\langle T^{m},\,m\in M\rangle$.  Zeige, dass ${}R$ allein im Fall  ${}M=\mathbb {N}$  ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.  Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,\left(f\right),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1.  ${}\operatorname {ord} \,\left(fg\right)=\operatorname {ord} \,\left(f\right)+\operatorname {ord} \,\left(g\right)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} \,\left(f+g\right)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,\left(f\right),\,\operatorname {ord} \,\left(g\right)\right)$. 
3. Es ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,\left(f\right)\geq 1$  ist.
4. Es ist  ${}f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,\left(f\right)=0$  ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten ${}R$-Untermoduln von ${}Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,\left(q\right)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe

Es sei  ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es sei  ${}P=(a,b)\in V$  ein Punkt.

a) Zeige, dass der lokale Ring ${}R$ von ${}V$ im Punkt ${}P$ ein diskreter Bewertungsring ist.

b) Folgere, dass der Koordinatenring ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ normal ist (man kann ${}K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).

c) Zeige, dass ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ nicht faktoriell ist.

d) Bestimme die Ordnung von ${}X$ und von ${}Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt ${}(0,1)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei  ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$.  Es sei  ${}K=R/(\pi )$  der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes  ${}n\in \mathbb {N}$  einen ${}R$-Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$  für alle  ${}f,g\in K^{\times }$.  Zeige, dass

${}R=\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}f\neq 0$, und  ${}a\in {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die minimale Ordnung einer Ableitung mit  ${}f^{(k)}(a)\neq 0$. 
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${}{\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Die vorstehende Aufgabe kann man über das Konzept des formalen Ableitens auf andere Grundkörper erweitern.

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zu einem Polynom  ${}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$  heißt das Polynom

${}F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$

die formale Ableitung von ${}F$.

Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von

${}2X^{7}+X^{6}+2X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$-linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$.  Bestimme die Menge der Polynome  ${}F\in K[T]$  mit formaler Ableitung  ${}F'=0$. 

Aufgabe

Zeige, dass über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ für das formale Ableiten die Beziehung (${}i\leq n$)

${}{\frac {1}{i!}}\left(X^{n}\right)^{(i)}={\binom {n}{i}}X^{n-i}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}f\in K[X]$, ${}f\neq 0$, und  ${}a\in K$.  Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

a) Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die minimale Ordnung einer formalen Ableitung mit  ${}f^{(k)}(a)\neq 0$. 

b) Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$.

c) Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}K[X]_{(X-a)}$ von ${}K[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Zu einem Untermodul  ${}U\subseteq V$  eines ${}R$-Moduls ${}V$ bezeichnet man mit ${}{\mathfrak {a}}U$ den von allen Produkten

$fv{\text{ mit }}f\in {\mathfrak {a}}{\text{ und }}v\in U$

erzeugten Untermodul.

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ aus dem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und dem ${}R$-Untermodul  ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R$  übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring und  ${}U\subseteq V$  ein ${}R$-Untermodul eines ${}R$-Moduls ${}V$. Zeige

${}\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot \left({\mathfrak {b}}\cdot U\right)\,.$

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring und sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}R$-Untermodul eines ${}R$-Moduls ${}V$. Zeige

${}\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {b}}\cdot U\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien  ${}U,W\subseteq V$  ${}R$-Untermoduln eines ${}R$-Moduls ${}V$. Zeige

${}{\mathfrak {a}}\cdot \left(U+W\right)={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {a}}\cdot W\,.$

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus  ${}{\mathfrak {m}}^{n+1}={\mathfrak {m}}^{n}$  folgt, dass  ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Integritätsbereich, der kein Körper sei. Es sei ${}Q$ der Quotientenkörper von ${}R$. Zeige  ${}{\mathfrak {m}}Q=Q$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring  ${}R\subseteq K(T)$  mit  ${}Q(R)=K(T)$  und mit  ${}R\cap K[T]=K$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ${}K$ ist ein formaler Ausdruck der Form

$a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\ldots {\text{ mit }}a_{i}\in K.$

Es kann hier also unendlich viele von ${}0$ verschiedene Koeffizienten ${}a_{i}$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen  ${}f,g\in R$  gelte, dass ${}f$ ein Teiler von ${}g$ ist oder dass ${}g$ ein Teiler von ${}f$ ist. Es sei ${}R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in ${}K[X,Y]_{(X,Y)}/\left(X^{2}-Y^{3}\right)$ jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.