Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es auf ihr Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1,P_2,P_3
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren
\definitionsverweis {Einbettungsdimensionen}{}{}
gleich $1,2,3$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H(X)
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ Y-H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $H$, aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (a,b)
}
{ =} { (a, H(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt des Graphen.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $C$ in $P$ gleich $1$ ist.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
in $P$ an $C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt $a$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_\ell ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 , \ldots , G_n
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome, die zu den
\definitionsverweis {polynomialen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell } } \stackrel{F}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } \stackrel{G}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { }
Anlass geben. Es seien
\mathkor {} {J (F)_P} {und} {J (G)_Q} {}
die durch
\definitionsverweis {formales partielles Ableiten}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{.}
Beweise die formale Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J ( G \circ F)_P
}
{ =} { J(G)_{F(P)} \circ J(F)_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass formales
\definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und
\definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{}
bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
}{Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 2x^4+3x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve mit dem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit einfachen
\definitionsverweis {Primfaktoren}{}{}
und mit zugehöriger
\definitionsverweis {ebener Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $C$ nur endlich viele
\definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise Lemma 22.12.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Cercle tangente rayon} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
ist.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
$F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+XY^2
}
{ \in} { {\mathbb C}[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
\mathdisp {V^3+U^2V-2UV+2U^2-4U-2V} { }
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Cardioid} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cardioid.svg } {} {D.328} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Singularitäten
\zusatzklammer {mit Multiplizitäten und Tangenten} {} {}
der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V { \left( X^5-X^3+2XY+7Y^2-9 \right) }} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V { \left( X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y \right) }} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,}
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY+1 \right) }}{} die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
über $\R$ und über ${\mathbb C}$. Man gebe jeweils die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
und die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ = }{ H(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen bestimmten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
im Nullpunkt.
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (1,2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung.
}{Führe eine Variablentransformation derart durch, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Singularitäten}{}{}
sowie deren
\definitionsverweis {Multiplizitäten}{}{}
und
\definitionsverweis {Tangenten}{}{.}
}
{\zusatzklammer {Vergleiche dazu
Beispiel 8.5.} {} {}} {}