Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring über $K$ und $\frac{\partial }{\partial X_1}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich $X_1$, also die Abbildung

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n],f⟼\frac{\partial f}{\partial X_1}.$

Zeige, dass dies eine $K$-Derivation ist.

Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal

$𝔪=(X_1,\dots ,X_n)\subseteq K[X_1,\dots ,X_n]$

im Polynomring über einem Körper $K$ und seine Potenzen ${𝔪}^d$. Zeige, dass die Monome

$X_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n},\sum _{i=1}^n{\nu }_i<d,$

eine $K$-Basis des Restklassenringes $K[X_1,\dots ,X_n]/{𝔪}^d$ bilden.

Aufgabe

Betrachte das Achsenkreuz  $V(xy)\subseteq {𝔸}_K^2$  und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal $𝔪$. Beschreibe explizit eine $K$-Basis für die Restklassenringe $R/{𝔪}^n$ und bestimme die Dimensionen davon.

Aufgabe *

Es sei  $F=F_m+\cdots +F_d$  die homogene Zerlegung eines Polynoms  $F\in K[X,Y]$  mit  $m\le d$  und es sei  $𝔪=(X,Y)$.  Zeige, dass für jedes  $n\ge m$  die Multiplikationsabbildung

$K[X,Y]⟶K[X,Y],G⟼FG,$

einen injektiven, wohldefinierten $K[X,Y]$-Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{𝔪}^{n-m}⟶K[X,Y]/{𝔪}^n$

festlegt.

Aufgabe *

Es sei  $e\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei  $M:=\{0\}\cup {\mathbb{N}}_{\ge e}\subseteq \mathbb{N}$. 

1. Bestimme $n{M}_{+}$ für  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 
2. Bestimme $\mathrm{\#}(M\setminus n{M}_{+})$.
3. Es sei $K$ ein Körper und setze  $R=K[M{]}_{𝔪}$  mit  $𝔪=(M_{+})\subseteq K[M]$.  Bestimme ${\dim }_K(R/{𝔪}^n)$.

Aufgabe

Berechne für das durch die Erzeuger $4$ und $9$ gegebene numerisches Monoid  $M\subseteq \mathbb{N}$  die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis  $n\le 6$. 

In einigen Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${𝔭}_0\subset {𝔭}_1\subset \dots \subset {𝔭}_n$

nennt man Primidealkette der Länge $n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von $R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit $\dim \left(R\right)$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von $R$ gleich eins ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger $5,8,11$ gegebene Monoid  $M\subseteq \mathbb{N}$  die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis  $n\le 5$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal $𝔪$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann  $R/𝔞\cong R_{𝔪}/𝔞R_{𝔪}$  ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal $𝔪$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie  $R/{𝔪}^n\cong R_{𝔪}/{𝔪}^n{R}_{𝔪}$  für jedes $n$ gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  $R=K[X,Y]$  der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die Krulldimension zwei besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. $R$ hat Krulldimension $0$.
2. $R$ ist ein artinscher Ring.
3. $R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit  ${𝔪}^n=0$  für jedes maximale Ideal $𝔪$.
5. Die Reduktion von $R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension $d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings $R[X]$ mindestens $d+1$ ist.

(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)