Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{R [ \![ T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { R [ \![ T]\! ] } { R [ \![ T]\! ]
} { F } { a_0
} {,}
die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} $K [ \![ T_1 , \ldots , T_n ]\! ]$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei
\mathl{RX_1 , \ldots , X_n}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
über $R$. Es sei
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial X_1 } }}{} die
\zusatzklammer {formale} {} {}
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{}
bezüglich $X_1$, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { R[ [X_1 , \ldots , X_n] ] } { R[ [X_1 , \ldots , X_n] ]
} { f } { { \frac{ \partial f }{ \partial X_1 } }
} {.}
Zeige, dass dies eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ \subseteq }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zum Nullpunkt gehörige
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Definiere einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { R } { K [ \![ T]\! ]
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(T)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} den
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ \subseteq }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zum Nullpunkt gehörige
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {} { R } { K [ \![ T]\! ]
} {}
der
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
aus
Aufgabe 24.6.
Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von Elementen nicht ändert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbdisp {} {K[ \![T]\! ] } { K
} {,}
die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.8.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe zeigt, dass die Bedingung an die eingesetzte Potenzreihe in
Lemma 24.9
notwendig ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die konstante
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und sei
\maabb {\delta} { M } {\N
} {}
ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
mit der Eigenschaft, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_d
}
{ = }{ \left\{ m \in M \mid \delta(m) = d \right\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich sei. Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[ [M] ]
}
{ =} { \left\{ \sum_{m \in M} a_m T^m \mid a_m \in R \right\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist, die den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{R[M]}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M=\N^r$ und sei
\maabb {\delta} {\N^r} {\N
} {}
die Standardgraduierung auf $\N^r$, also die durch
\mathl{e_i \mapsto 1}{} gegebene Abbildung. Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{R[ [\N^r] ]}{} wie in
Aufgabe 24.11
definiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[ [\N^r] ]
}
{ =} { R[ [T_1 , \ldots , T_r] ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen
\zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {}
isomorph zum
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zu einem
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
$R$ mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ das Diagramm
\mathdisp {\longrightarrow R/{\mathfrak m}^4 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^3 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^2 \longrightarrow R/{\mathfrak m}} { . }
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen
\maabb {\varphi_{n}} { R/{\mathfrak m}^{n+1} } { R/{\mathfrak m}^n
} {,}
die durch die Idealinklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
induziert werden. Eine Folge von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{ R/{\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \stichwort {verträglich} {,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_n(a_{n+1})
}
{ = }{ a_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente
\zusatzklammer {diesen Ring nennt man die
\definitionswortenp{Komplettierung}{} von $R$} {} {.}
Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.
}
{Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $I$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R)} { }
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigcap_n I^n
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \R[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(X^2-Y^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der in
Beispiel 24.2
besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ -1,0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K [ \![ Y]\! ])[X]} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R [[ T_1, \ldots , T_{ n }]]}{} noethersch ist.
}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $K[T]$ der
\definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{.}
Es sei $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $K[T]$ am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Komplettierung}{}{}
von $R$ isomorph zum
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
$K [ \![ T]\! ]$ ist.
}
{} {}