Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Diagonale $V(Y-X)$ durch eine beliebige Potenzreihe $P(T)$ mittels

$X=Y=P(T)$

„gelöst“ werden kann.

Aufgabe *

Bestimme für die Parabel $V(Y-X^2)$ im Punkt $(1,1)$ eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit

$Y=T+1$

und

$X=P(T)$

bis zum Grad $4$ von $P$.

Aufgabe

Bestimme für den Graphen $V(Y-X^3)$ im Punkt $(1,1)$ eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit

$Y=T+1$

und

$X=P(T)$

bis zum Grad $4$ von $P$.

In den beiden vorstehenden Aufgaben mache man sich auch die Beziehung zur Taylorentwicklung im Punkt $1$ der Quadratwurzelfunktion bzw. der dritten Wurzelfunktion klar.

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{2}Y+X^2+Y^2-5XY+Y)$

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung  $Y=F(X)$  im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^3+Y^2-XY+X)$

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung  $X=F(Y)$  im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

Aufgabe

Betrachte die Kardioide

$V({(X^2+Y^2)}^2-2X(X^2+Y^2)-Y^2)$

im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.

Aufgabe

Betrachte die durch  $y=2x^4+3x^2-x+1$  gegebene Kurve im Punkt  $P=(1,5)$  in den in Aufgabe 22.7 gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Einheitskreis  $X^2+Y^2=1$  im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und  $H\in K[[T]]$  mit den Anfangsbedingungen $a_0=1,a_1=0,b_0=0,b_1=1$ und mit  $G(T{)}^2+H(T{)}^2=1$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Neilsche Parabel  $C=V(Y^3-X^2)$  im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[[T]]$  der Potenzreihenring Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für  $K=\mathbb{Z}/(7)$  das Element $T+2$ eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $F\in K[X,Y]$  ein irreduzibles Polynom und  $R=K[X,Y]/(F)$  der integre Koordinatenring der ebenen Kurve  $C=V(F)$.  Es sei $R\to S=R^{\mathrm{norm}}$ die Normalisierung von $R$ und es sei $R\to K[[T]]$ der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $S\to K[[T]]$ gibt derart, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}R& \stackrel{}{⟶}& S& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K[[T]]& \end{array}$

kommutiert.