Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Diagonale
\mathl{V(Y-X)}{} durch eine beliebige Potenzreihe
\mathl{P(T)}{} mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { Y
}
{ =} { P(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\anfuehrung{gelöst}{} werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die Parabel
\mathl{V \left( Y-X^2 \right)}{} im Punkt
\mathl{(1,1)}{} eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { T+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { P(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $4$ von $P$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den Graphen
\mathl{V \left( Y-X^3 \right)}{} im Punkt
\mathl{(1,1)}{} eine Lösung in Potenzreihen in $T$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { T+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { P(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $4$ von $P$.
}
{} {}
In den beiden vorstehenen Aufgaben mache man sich auch die Beziehung zur \definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{} im Punkt $1$ der Quadratwurzelfunktion bzw. der dritten Wurzelfunktion klar.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{}
\mathdisp {V(X^2Y+X^2+Y^2-5XY+Y)} { }
eine nicht-konstante Potenzreihenlösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ F(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V \left( X^3+Y^2-XY+X \right)} { }
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ F(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Kardioide
\mathdisp {V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2)} { }
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 2x^4+3x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in den in
Aufgabe 22.7
gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte den Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+Y^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K [ \![ T ]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den Anfangsbedingungen
\mathl{a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(T)^2+H(T)^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Neilsche Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(Y^3-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen
\zusatzklammer {bis zum fünften Glied} {} {}
derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K [ \![ T ]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 7 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein irreduzibles Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X,Y]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der integre Koordinatenring der ebenen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{R \rightarrow S = R ^{\operatorname{norm} }}{} die Normalisierung von $R$ und es sei
\mathl{R \rightarrow K [ \![ T]\! ]}{} der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\mathl{S \rightarrow K [ \![ T]\! ]}{} gibt derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K [ \![ T]\! ] & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
{} {}