Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $X$ ein kompakter Raum und es sei  $Y\subseteq X$  eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine projektive Varietät über $ℂ$ in der natürlichen Topologie kompakt ist.

Aufgabe

Es sei $Y$ eine projektive Varietät über $ℂ$, die zugleich eine affine Varietät sei. Zeige, dass $Y$ eine endliche Punktmenge ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

$V_{+}(X^4+Y^{3}Z+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

$V_{+}(X^4+Y{Z}^3+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

$V_{+}(F)\subset {\mathbb{P}}_K^2$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$(\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y},\frac{\partial F}{\partial Z})$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb{P}}_K^1$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

$\Gamma ({\mathbb{P}}_K^1,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^1}).$

Was folgt daraus für einen Morphismus ${\mathbb{P}}_K^1\to {𝔸}_K^1$?

Aufgabe

Es sei

$U=D_{+}(X_0)\cup D_{+}(X_1)\subseteq {\mathbb{P}}_K^n.$

Zeige

$\Gamma (U,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^n})=K.$

Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.

Aufgabe

Definiere zu jedem  $n\in \mathbb{Z}$  das Potenzieren $x\mapsto x^n$ als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

Aufgabe

Es sei  $f\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  ein homogenes Polynom vom Grad $d$ und sei

$D_{+}(f)\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom  $h\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  vom Grad $e$ die rationale Funktion $\frac{h}{f^n}$ unter der Bedingung  $e=nd$  eine algebraische Funktion

$\frac{h}{f^n}:D_{+}(f)⟶K$

definiert.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${𝔸}_K^{n+1}\setminus \{0\}⟶{\mathbb{P}}_K^n$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung

${𝔸}_K^{n+1}\setminus \{0\}⟶{\mathbb{P}}_K^n$

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ quasiprojektive Varietäten und sei $\phi :X\to Y$ eine stetige Abbildung. Es sei  $Y=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\phi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen

${\phi }_i:{\phi }^{-1}(U_i)⟶U_i$

für jedes $i$ Morphismen sind

Aufgabe

Es seien  $P,Q\in {\mathbb{P}}_K^n$  Punkte im projektiven Raum über einem Körper $K$. Zeige, dass es einen Automorphismus $\phi :{\mathbb{P}}_K^n\to {\mathbb{P}}_K^n$ mit  $\phi (P)=Q$  gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb{P}}_K^n$ der zugehörige projektive Raum. Es sei $\phi :K^{n+1}\to K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

a) Zeige, dass $\phi$ einen Automorphismus

$\phi :{\mathbb{P}}_K^n⟶{\mathbb{P}}_K^n,(x_0,x_1,\dots ,x_n)⟼\phi (x_0,x_1,\dots ,x_n),$

induziert.

b) Bestimme das Urbild von $D_{+}(X_i)$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?

c) Zeige, dass ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\ne 0$ ineinander überführbar sind.

d) Induziert jede lineare Abbildung $\phi :K^{n+1}\to K^{n+1}$ einen Morphismus $\phi :{\mathbb{P}}_K^n\to {\mathbb{P}}_K^n$?

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät  $V\subset {\mathbb{P}}_K^n$  isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Die Restklassengruppe

${\mathrm{SL}}_n\left(K\right)/(K^{\times }\cdot \mathrm{Id}\cap {\mathrm{SL}}_n\left(K\right))$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

${\mathrm{PSL}}_n\left(K\right)$

bezeichnet.

Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb{P}}_K^1⟶{\mathbb{P}}_K^1,(s,t)⟼(t,s).$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel

$V(XY-1)\subseteq {𝔸}_K^2\subseteq {\mathbb{P}}_K^2.$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel

$V(Y-X^2)\subseteq {𝔸}_K^2\subseteq {\mathbb{P}}_K^2.$

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$  eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

$\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Aufgabe

Es sei  $F\in K[X]$  ein Polynom in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei  $V(Y-F)\subseteq {𝔸}_{}^2$  der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss  $\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  des Graphen.

Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X],G\ne 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei $F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei  $V\subseteq {𝔸}_{}^2$  der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss  $\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$  eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

$\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

zusätzliche Punkte enthält.

Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve  $V_{+}(X^4+Z^{3}Y+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$  isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe

Es sei  $(H)\subseteq K[X_1,\dots ,X_n]$  ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals $(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von $H$ erzeugten Hauptideal ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für ein Ideal  $𝔞\subseteq K[X]$  und zwei Erzeuger, also  $𝔞=(f,g)$,  derart, dass das homogenisierte Ideal in $K[X,Y]$ nicht von den Homogenisierungen der beiden Erzeuger erzeugt wird.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V({(X^2+Y^2)}^2-2X(X^2+Y^2)-Y^2)$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

$V:=V(X^4+Y^2)\subseteq {𝔸}_{ℝ}^2$

über $ℝ$.

a) Bestimme die Punkte von $V$ und den projektiven Abschluss von $V$.

b) Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^4+Y^2$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

$V:=V(X^2+Y^2+1)\subseteq {𝔸}_K^2$

über dem Körper  $K=\mathbb{Z}/(2)$  mit zwei Elementen.

a) Bestimme die Punkte von $V$.

b) Bestimme den projektiven Abschluss von $V$.

c) Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^2+Y^2+1$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und  $V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n$  eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ mit $V$ übereinstimmt.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch $V({(X^2+Y^2)}^2-X^2+Y^2)$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb{P}}_{ℂ}^2$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $m+1$ homogene Polynome $F_0,\dots ,F_m$ in $n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge  $U\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$  gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb{P}}_K^n\supseteq U⟶{\mathbb{P}}_K^m$

definieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

${𝔸}_K^{n+1}\setminus \{0\}⟶{\mathbb{P}}_K^n$

den Zariski-Abschluss im ${\mathbb{P}}_K^n$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge $V(𝔞)\cap {𝔸}_K^{n+1}\setminus \{0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $X$ eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper  $L=K(X)$.  Es seien $U$ und $U_i$, $i\in I$, offene Teilmengen mit  $U=\bigcup _{i\in I}{U}_i$.  Zeige, dass

$\Gamma (U,𝒪)=\bigcap _{i\in I}\Gamma (U_i,𝒪)$

ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb{P}}_K^n$ der projektive Raum über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

$\Gamma ({\mathbb{P}}_K^n,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^n})=K.$

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch $V(X^3+3X^2-Y^2)$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch $V(X^3+Y^3-3XY)$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb{P}}_{ℂ}^2$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.