Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung für die Urbildgerade zur
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{ K } \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} { (x,y,z) } { (y,z)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Einschränkung der
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{2}_{ K } \setminus \{ P \} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
auf eine jede Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nicht durch $P$ geht, einen Isomorphismus induziert.
}
{} {}
In den beiden folgenden Aufgaben wird das Konzept eines Geradenbündels erwähnt.
Ein
\definitionswort {Geradenbündel}{}
\mathl{L}{}
auf einer
\definitionsverweis {Varietät}{}{}
$U$
\zusatzklammer {über einem Körper $K$} {} {}
ist eine Varietät $L$ zusammen mit einem Morphismus
\maabb {p} { L } { U
} {}
und einer offenen affinen Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass es Isomorphismen
\maabbdisp {\varphi_i} {L {{|}}_{U_i } } { U_i \times {\mathbb A}^{1}_{ K }
} {}
über $U_i$ derart gibt, dass zu
\mathl{i,j}{} die Übergangsabbildungen
\maabbdisp {\varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j } \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j }} { U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{ K } } { U_i \cap U_j \times {\mathbb A}^{1}_{ K }
} {}
linear sind, also auf der Ringebene durch
\mathl{T \mapsto rT}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \Gamma(U_i \cap U_j, {\mathcal O} )^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{ n }_{ K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K}
} {}
auf den affinen Stücken
\mathl{D_+ \left( X_i \right)}{} eine Projektion
\maabbdisp {} { D_+ \left( X_i \right) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n-1 } } \times {\mathbb A}^{1}_{ K } } { D_+ \left( X_i \right) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n-1 } }
} {}
ist. Zeige, dass somit ein
\definitionsverweis {Geradenbündel}{}{}
über dem
\mathl{{\mathbb P}^{ n-1 }_{ K }}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das durch die
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{ n }_{ K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K}
} {}
gegebene
\definitionsverweis {Geradenbündel}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\pi} { {\mathbb P}^{ n }_{ K} \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \} } { {\mathbb P}^{n-1}_{K}
} {}
die
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ \left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ K^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\maabbeledisp {s_a} { {\mathbb P}^{ n-1 }_{ K } } { {\mathbb P}^{ n }_{ K } \setminus \{(1,0 , \ldots , 0) \}
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \sum_{i = 1}^n a_ix_i , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {}
ein
\definitionsverweis {Schnitt}{}{}
zu $\pi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V_+ \left( X^2+Y^2+Z^2 \right)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} { C } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{ K } \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{ K }}{.}
}
{} {}
Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der \definitionsverweis {Separabilität für Polynome}{}{} und den Charakterisierungssatz für separable Polynome.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
vom Grad $d$ und sei
\maabbdisp {\varphi} { C } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {}
der durch eine
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \notin }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus genau $d$ Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V \left( YZ^{p-1} +X^p \right)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\mathl{(1,0,0)}{} definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { C } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {}
bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Interpretiere $F$ als
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {.}
Was ist
\mathl{F(\infty)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Interpretiere $F$ als
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve und sei
\maabbdisp {\varphi} { C \setminus \{P\} } { {\mathbb P}^{1}_{ K }
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt
\mathbed {Q \in C} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {,}
auf die durch
\mathkor {} {Q} {und} {P} {}
gegebene \stichwort {Sekante} {} abgebildet.
\aufzaehlungdreiabc{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $Q_n$ eine Folge auf $C$, die in der
\definitionsverweis {komplexen Topologie}{}{}
gegen $P$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Konvergiert $\varphi(Q_n)$?
}{Besitzt $\varphi(Q_n)$ einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{?}
}{Es sei $P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz $C$ gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die Situation aus
Aufgabe 29.11
für das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(YZ)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Kreuzungspunkt
\mathl{(1,0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
über den reellen Zahlen $\R$
\zusatzklammer {oder den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$} {} {}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {F} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K} } } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K} }
} {.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F( \infty)
}
{ =} { c
}
{ \in} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb K} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ G(n) }{ H(n) } }} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} gegen $c$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
\zusatzklammer {was für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sinnvoll zu interpretieren ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V \left( Y-X^3+X+2 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{ K }$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{C}
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fortsetzen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V_+ \left( X^2+Y^2+Z^2 \right)
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine projektive Parametrisierung von $C$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ =} { x + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$.
\aufzaehlungvierabc{Skizziere den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
$C$ der Funktion $F$
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme die Gleichung für den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
$D$ von $C$ \zusatzklammer {für $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}} {} {.}
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{D \setminus C}{} zusammen mit ihrer
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{.}
}{Zeichne die hinzukommenden Punkte als Geraden in die Skizze aus (a) ein.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome in einer Variablen}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{ e
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in
Bemerkung 29.9
beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion
\mathl{G/H}{,} also
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{2}_{ K }
} {(x,y)} { \left( \hat{ H }(x,y) x y^{d-e-1} , \, \hat{ G }(x,y) , \, \hat{ H }(x,y) y^ {d-e} \right)
} {,}
in der Tat die in
Satz 29.8
gegebene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ H } (X,Z)YZ^{d-e-1}- \hat{ G } (X,Z)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome in einer Variablen}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \leq }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in
Bemerkung 29.9
beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion
\mathl{G/H}{,} also
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{2}_{ K }
} { (x,y) } { \left( \hat{ H }(x,y) x , \, \hat{ G }(x,y) y^{e-d+1} , \, \hat{ H }(x,y) y \right)
} {,}
in der Tat die in
Satz 29.8
gegebene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ H } (X,Z)Y- \hat{ G } (X,Z)Z^{e-d+1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ZX^2
}
{ =} { Y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene projektive Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$.
a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.
b) Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { }
eine wohldefinierte Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{} } { {\mathbb P}^{2}_{}
} {}
gegeben ist.
c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.
d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_{}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 5 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir betrachten die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C = V \left( X^2+Y^2-1 \right) \text{ und } D = V \left( X^3-2Y^2+3 \right)} { . }
\aufzaehlungvierabc{Bestimme den Durchschnitt $C \cap D$.
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{V_+ \left( X^2+Y^2-Z^2 \right) \setminus V \left( X^2+Y^2-1 \right)}{.}
}{Bestimme die Punkte aus
\mathl{V_+ \left( X^3-2Y^2Z+3 Z^3 \right) \setminus V \left( X^3-2Y^2+3 \right)}{.}
}{Ist
\mathl{V_+ \left( X^2+Y^2-Z^2 \right)}{} der
\definitionsverweis {projektive Abschluss}{}{}
von $V \left( X^2+Y^2-1 \right)$?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V \left( Y^2-X^b \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ V \left( Y^2-X^c \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ b
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$b,c$ ungerade.
\aufzaehlungdreiabc{Berechne die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
der beiden Kurven im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}
}{Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{.}
}{Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a_0 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.}
Zeige, dass die Projektion des ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ auf ${\mathbb P}^{n-1}_{K}$ mit Zentrum $P$ durch die Matrix
\mathdisp {} { }
gegeben ist, also durch die Abbildung
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte Kurve}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabb {} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V_+ \left( X^3+Y^3+Z^3 \right)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus
\maabb {} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {,}
bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung
\maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C}} } { C
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine glatte Quadrik
\zusatzklammer {also eine Kurve vom Grad zwei} {} {}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{.}
Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ \left( \left( X^2+Y^2 \right)^2-Z^2X^2+Z^2Y^2 \right)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?
}
{} {}