Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ \left( X^3+Y^3+Z^3 \right)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+(X+Y+Z)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden
\zusatzklammer {über ${\mathbb C}$ affin gegebenen} {} {}
Kreise
\mathdisp {V\left( X^2+Y^2-1 \right) \text{ und } V\left( X^2+Y^2-4 \right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\zusatzklammer {affin gegebenen} {} {}
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V\left( Y-X^2 \right) \text{ und } V\left( X-Y^2 \right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\zusatzklammer {affin gegebenen} {} {}
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V\left( Y-X^2 \right) \text{ und } V\left( Y-X^2 -1 \right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\zusatzklammer {affin gegebenen} {} {}
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V\left( Y-X^2 \right) \text{ und } V\left( Y-3X^2 \right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,}
die jeweils als
\definitionsverweis {projektiver Abschluss}{}{}
zum
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ X^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ X^{-1} + 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme für die beiden affinen Kurven
\mathdisp {V \left( Y-X^3 \right) \text{ und } V \left( Y^2-X^3 \right)} { }
ihre Schnittpunkte zusammen mit den
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{.}
Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}}$ und bestätige
den Satz von Bézout
in diesem Beispiel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V \left( X-Y^2 \right) \text{ und } D=V \left( Y^2-X^5 \right)} { . }
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven
\zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\bar{C}$ und $\bar{D}$} {} {} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bézout in diesem Beispiel erfüllt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in den in
Beispiel 30.6
berechneten Schnittpunkten
\mathl{\neq (0,0)}{} der beiden Kurven ein
\definitionsverweis {transversaler Schnitt}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
über ${\mathbb C}$ mithilfe
des Satzes von Bézout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{,}
die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V \left( Y^2-X^3 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(-1,0)}{} und Radius $1$ gegeben sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene Polynome vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V_+ \left( YZ^{d-1} - \hat{ F } (X,Z) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { V_+ \left( YZ^{e-1} - \hat{ G } (X,Z) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {projektiven Abschlüsse}{}{}
der zugehörigen
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
wie in
Beispiel 30.7.
Diskutiere den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V_+ \left( YZ^{d-1} - \hat{ F } (X,Z) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { V_+ \left( YZ^{e-1} - \hat{ G } (X,Z) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {projektiven Abschlüsse}{}{}
der zugehörigen
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
wie in
Beispiel 30.7.
Diskutiere den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{ K } \times {\mathbb P}^{1}_{ K }}{} und die
\definitionsverweis {projektive Ebene}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{ K }}{} nicht zueinander isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{ K } \times {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{ 3 }_{K}
} {( (s,t),(u,v)) } { (su,sv,tu,tv) = (x,y,z,w)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
gegeben ist.
}{Zeige, dass das Bild von $\varphi$ die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xw
}
{ =} { yz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}{Zeige, dass eine bijektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{ K } \times {\mathbb P}^{1}_{ K } } { V_+(xw-yz)
} {}
vorliegt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\zusatzklammer {affin gegebenen} {} {}
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mathdisp {V\left( Y-X^2 \right) \text{ und } V\left( Y-(X-1)^2 \right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V_+ \left( ZY^2-X^3 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ V_+ \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V_+ \left( ZY-X^2 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ V_+\left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Bézout
für die beiden monomialen Kurven, die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ V(X^5-Y^4)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}
{} {}