Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge $V (F)$ . Zeige, dass für jeden Punkt $P \in V (F)$ und jeden Skalar $λ \in K$ auch $λ P \in V (F)$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F \in K [X, Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: $F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein homogenes Polynom. Es sei $F = G H$ eine Faktorzerlegung. Zeige, dass $G$ und $H$ ebenfalls homogen sind.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $P = R [X_{1}, \dots, X_{m}]$ der Polynomring darüber in $m$ Variablen. Es sei $𝔪 = (X_{1}, \dots, X_{m})$ das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass $𝔪^{n} = P_{\geq n}$ ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.

Aufgabe

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen $V, V^{'} \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei $P = (a, b)$ ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L^{'}$ verschiedene Geraden durch $P$ . Es sei $C = V (F)$ , $F \in K [X, Y]$ , eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation (einen Koordinatenwechsel) derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?

Aufgabe

Es sei sowohl $C$ als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von drei (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es einen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der $C$ in $D$ überführt.

Aufgabe

Es sei sowohl $C$ als auch $D$ eine ebene affin-algebraische Kurve, die jeweils aus der Vereinigung von vier (verschiedenen) Geraden bestehen, die sich jeweils in einem Punkt treffen. Zeige, dass es im Allgemeinen keinen affin-linearen Koordinatenwechsel gibt, der $C$ in $D$ überführt.

Die folgenden beiden Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom $Y$ an.

Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf die Hyperbel $X Y - 1$ an.

Aufgabe

Wende (den Beweis zu) Satz 5.4 auf das Polynom $X^{2} Y^{3} + 5 X^{3} Y^{2} - X^{2} Y^{2} + 3 Y + 7 \in ℂ [X]$ an.

Aufgabe

Es sei $F \in ℂ [X, Y]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve $C = V (F)$ überabzählbar viele Elemente besitzt.

Aufgabe *

Es sei $M = {P_{1}, \dots, P_{n}} \subseteq K^{2}$ eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen Körper.

a) Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven erhalten kann.

b) Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei irreduziblen algebraischen Kurven erhalten kann.

Aufgabe

Berechne das Bild $\tilde{F}$ des Polynoms

F = X^{2} Y + 3 X Y - Y^{3}

unter dem durch

X ⟼ T^{2} + S - 3, Y ⟼ 3 T S + S^{2} - T

definierten Einsetzungshomomorphismus

K [X, Y] ⟶ K [S, T] .

Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und es sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung

F : 𝔸_{K}^{n} ⟶ 𝔸_{K}^{1} .

Zeige mit und ohne Satz 5.10, dass das Bild von $F$ einpunktig oder unendlich ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen und

P_{1}, \dots, P_{n} \in 𝔸_{K}^{2}

$n$ Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung

φ : 𝔸_{K}^{1} ⟶ 𝔸_{K}^{2}

mit $bild φ = {P_{1}, \dots, P_{n}}$ gibt, wenn $1 \leq n \leq q$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

𝔸_{K}^{2} ⟶ 𝔸_{K}^{1}

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem $n \in ℕ_{+}$ die Abbildung

φ : K^{n} ⟶ K^{n}, (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}) ⟼ (c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n - 1}),

die einem Nullstellentupel $(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n})$ das Koeffiziententupel $(c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n - 1})$ (ohne die $1$ ) des normierten Polynoms

(X - λ_{1}) (X - λ_{2}) \dots (X - λ_{n}) = P = c_{0} + c_{1} X + \dots + c_{n - 1} X^{n - 1} + X^{n}

zuordnet.

Beschreibe $φ$ explizit für $n = 2$ .
Beschreibe $φ$ explizit für $n = 3$ .
Begründe, dass die $φ$ polynomiale Abbildungen sind.
Zeige, dass die Fasern von $φ$ endlich sind.
Wann ist die Faser zu einem Tupel $(c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n - 1})$ leer?
Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für $K = ℝ$ erreicht wird.
Es sei $K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass $φ$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei

φ : 𝔸_{K}^{r} ⟶ 𝔸_{K}^{n}

eine polynomiale Abbildung und sei $T \subseteq 𝔸_{K}^{r}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit

\overline{φ (T)} = \overline{φ (\overline{T})}

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Aussage von Aufgabe 5.21 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

Y = \frac{X^{2} - 2 X}{X^{2} - 1}

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

𝔸_{K}^{2} ⟶ 𝔸_{K}^{2}, (x, y) ⟼ (x, x y) .

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

E = V (2 x^{2} + 3 y^{2} + 4 z^{2} - 5) = {(x, y, z) ∣ 2 x^{2} + 3 y^{2} + 4 z^{2} = 5} .

Finde eine affin-lineare Variablentransformation (über $ℝ$ ) derart, dass das Bild von $E$ unter der Abbildung die Standardkugel $V (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1)$ wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $V$ und $\tilde{V}$ affin-algebraische Mengen in $𝔸_{K}^{2}$ zu $K = ℤ / (2)$ . Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei $K = ℤ / (p)$ für $p \geq 3$ und auch für $𝔸_{ℤ / (2)}^{n}$ für $n \geq 3$ nicht gilt.

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