Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

$\mathbb{Z}[X,Y,Z,W]/(XY-ZW,5X^8-Y{Z}^3+2WXY)$

noethersch ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei

${𝔞}_1\subseteq {𝔞}_2\subseteq {𝔞}_3\subseteq \dots$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{𝔞}_n$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt $R\times S$ zu noetherschen Ringen $R$ und $S$ wieder noethersch ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es in $K[X,Y]$ keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.

Tipp: Betrachte die Potenzen $(X,Y{)}^m$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei

$K[X_n,n\in \mathbb{N}]$

der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Unterring  $R\subseteq S$  eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $𝔞\subset R$  ein (echtes) Ideal mit dem Restklassenring $R/𝔞$. Zeige durch ein Beispiel, dass $𝔞$ endlich erzeugt und $R/𝔞$ noethersch sein kann, ohne dass $R$ noethersch ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $𝔟\subseteq R[X]$  ein Ideal, das zumindest ein normiertes Polynom enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$?

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere diejenigen Ideale  $𝔟\subseteq R[X]$  mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$ konstant ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei  $R=K[X]$  der Polynomring über $K$. Bestimme zu den Idealen

${𝔟}_m=(X,Y{)}^m\subseteq R[Y]=K[X,Y]$

die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$. Wann wird sie stationär?

Aufgabe

Bestimme zum Ideal

$I=(6,6x^2+2x+3,3x^3+5,2x^5+x-4,4x^7-3x)$

in $\mathbb{Z}[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombinationen des konstruierten Erzeugendensystems.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. $A$ werde durch die Familie  $a_i\in A$,   $i\in I$,  über $R$ erzeugt. Zeige: Wenn $A$ endlich erzeugt ist, dann wird $A$ auch von einer endlichen Teilfamilie der $a_i$ erzeugt.

Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in ${𝔸}_K^n$ und von Idealen in $K[X_1,\dots ,X_n]$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

$V_0\subseteq V_1\subseteq V_2\subseteq \dots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und  $n\ge 1$  wird nicht jede aufsteigende Kette

$V_0\subseteq V_1\subseteq V_2\subseteq \dots$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für (einen beliebigen Körper und)  $n\ge 1$  wird nicht jede absteigende Idealkette

${𝔞}_0\supseteq {𝔞}_1\supseteq {𝔞}_2\supseteq \dots$

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und  $n\ge 1$  gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\mathbb{Z}$-Moduls trägt. Kommutative Gruppen und $\mathbb{Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe. Zeige, dass $A$ genau dann eine $R$-Algebra ist, wenn $A$ ein $R$-Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b\text{ für alle }r\in R,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$. Es seien  $s_1,\dots ,s_k\in R$  und  $v_1,\dots ,v_n\in V$.  Zeige

$\left(\sum _{i=1}^k{s}_i\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^n{v}_j\right)=\sum _{1\le i\le k,1\le j\le n}{s}_i\cdot v_j.$

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und sei

$\phi :M⟶N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen $R$-Untermodul  $S\subseteq M$  ist auch das Bild $\phi (S)$ ein Untermodul von $N$.
2. Insbesondere ist das Bild  $\mathrm{bild}\phi =\phi (M)$  der Abbildung ein Untermodul von $N$.
3. Für einen Untermodul  $T\subseteq N$  ist das Urbild ${\phi }^{-1}(T)$ ein Untermodul von $M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${\phi }^{-1}(0)$ ein Untermodul von $M$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring

$S=R/𝔞.$

Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die $𝔞$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass $\mathbb{Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über $\mathbb{Z}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei  $A=K[X,Y]$.  Finde eine $K$-Unteralgebra von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

$I=(10,6x^2+8,4x^3-12)$

in $\mathbb{Z}[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombinationen mit dem konstruierten Erzeugendensystem.