Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Liste der Hauptsätze/kontrolle

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.

Es ist ${}V(1)=\emptyset$ , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V{\left({\mathfrak {a}}_{i}\right)}$ . Dann gilt
${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Es seien ${}V_{i}$ , ${}i\in I$ , affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V{\left({\mathfrak {a}}_{i}\right)}$ . Dann gilt
${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$
Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Frage:

Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Name

Antwort:

Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Zeige die folgenden Eigenschaften.

Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
Es ist ${}V(1)=\emptyset$ , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$ . Dann gilt
${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.
Es seien ${}V_{i}$ , ${}i\in I$ , affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$ . Dann gilt
${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$
Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Zariski-Abschluss

Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt

Es sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge.

Dann ist der Zariski-Abschluss von ${}T$ gleich

${}{\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.$

Frage:

Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Antwort:

Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Irreduzible Teilmenge und Verschwindungsideale

Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ .

Dann ist ${}V$ genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

Frage:

Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.

Antwort:

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ . Dann ist ${}V$ genau dann irreduzibel, wenn ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.

Noethersche Normalisierung (Kurven)

Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom vom Grad ${}d$ , das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert.

Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${}{\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form

${}{\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,$

besitzt.

Frage:

Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom vom Grad ${}d$ , das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert. Dann gibt es eine lineare Koordinatentransformation derart, dass in den neuen Koordinaten ${}{\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ das transformierte Polynom die Form

{}{\tilde {F}}={\tilde {X}}^{d}+{\text{ Terme von kleinerem Grad in }}{\tilde {X}}\,

besitzt.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.

Anzahl der Punkte auf Kurve

Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich viele Elemente/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein nicht-konstantes Polynom, das die algebraische Kurve ${}C=V(F)$ definiert.

Dann besitzt ${}C$ unendlich viele Elemente.

Frage:

Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich viele Elemente/Fakt/Name

Antwort:

Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich viele Elemente/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl der Punkte auf einer ebenen Kurve über einem algebraischen abgeschlossenen Körper.

Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten Varietäten

Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien ${}\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale.

Dann sind die Restklassenringe (als ${}K$ -Algebren) isomorph, also

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.$

Frage:

Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien ${}\operatorname {Id} \,(V),\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe (als ${}K$ -Algebren) isomorph, also

{}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)\cong K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})\,.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Bild unter polynomialer Abbildung

Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}

sei eine durch ${}n$ Polynome in ${}r$ Variablen gegebene Abbildung.

Dann ist der Zariski-Abschluss des Bildes der Abbildung irreduzibel.

Frage:

Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Name

Antwort:

Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Durchschnitt von ebenen Kurven

Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor.

Dann gibt es nur endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit ${}P_{i}\in V(F,G)$ .

Frage:

Der Satz über den Durchschnitt von endlichen Kurven.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor. Dann gibt es nur endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit ${}P_{i}\in V(F,G)$ .

Beweisaufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt ${}V(F)\cap V(G)$ nur endlich viele Punkte besitzt.

Polynomiale Parametrisierung einer Kurve

Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ Polynome.

Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ , ${}F\neq 0$ , mit ${}F(P,Q)=0$ . D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$ .

Wenn ${}K$ unendlich ist und ${}(P,Q)$ nicht beide konstant sind, so ist der Zariski-Abschluss des Bildes eine irreduzible Kurve ${}C$ .

Frage:

Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ , ${}F\neq 0$ , mit ${}F(Q,P)=0$ . D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$ .

Beweisaufgabe

Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Rationale Abbildung

Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt

Es seien zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$ , ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$ , gegeben, die nicht beide konstant seien.

Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit

${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.$

Das bedeutet, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ eine rationale Parametrisierung definieren.

Frage:

Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.

Antwort:

Es seien zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$ , ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$ , gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit

{}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,.

Beweisaufgabe

Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Parametrisierung von Quadriken

Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt

Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

{}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,

(mit ${}\alpha$ , ${}\beta$ , ${}\gamma$ nicht alle ${}0$ ). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.

Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$ , ${}Q\neq 0$ , derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

in ${}C$ liegt.

Besitzt ${}C$ zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.

Ist ${}C$ zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.

Frage:

Der Satz über die Parametrisierung von Quadriken.

Antwort:

Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

{}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,

(mit ${}\alpha$ , ${}\beta$ , ${}\gamma$ nicht alle ${}0$ ). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$ , ${}Q\neq 0$ , derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)

in ${}C$ liegt.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Parametrisierung von Quadriken.

Noethersch mit Idealketten

Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist noethersch.

Jede aufsteigende Idealkette
${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ .

Frage:

Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Antwort:

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist noethersch.
Jede aufsteigende Idealkette
${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ .

Beweisaufgabe

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Der Hilbertsche Basissatz

Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

Frage:

Der Hilbertsche Basissatz.

Antwort:

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

Beweisaufgabe

Beweise den Hilbertschen Basissatz.

Irreduzible Komponenten

Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$ .

Frage:

Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.

Antwort:

Es sei ${}V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung

{}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}\,

mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$ .

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.

Kurze exakte Sequenz von noetherschen Moduln

Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$ -Moduln.

Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn sowohl ${}M_{1}$ als auch ${}M_{3}$ noethersch sind.

Frage:

Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt/Name

Antwort:

Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über noethersche Moduln bei einer kurzen exakten Sequenz.

Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen

Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$ - Modul.

Dann ist ${}M$ ein noetherscher Modul.

Frage:

Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über einen endlich erzeugten Modul ${}M$ über einem noetherschen Ring ${}R$ .

Der Hilbertsche Nullstellensatz

Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als ${}K$ -Algebra) endlich erzeugt sei.

Dann ist ${}L$ endlich über ${}K$ .

Frage:

Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als ${}K$ -Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist ${}L$ endlich über ${}K$ .

Beweisaufgabe

Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Maximale Ideale unter Homomorphismen

Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ zwei ${}K$ -Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein ${}K$ - Algebrahomomorphismus.

Dann ist für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ aus ${}B$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.

Frage:

Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ zwei ${}K$ -Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein ${}K$ -Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ aus ${}B$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.

Beweisaufgabe

Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Radikal und maximale Ideale

Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}K$ -Algebra von endlichem Typ.

Dann ist jedes Radikal in ${}A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.

Frage:

Der Satz über Radikale und maximale Ideale.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine ${}K$ -Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in ${}A$ der Durchschnitt von maximalen Idealen.

Beweisaufgabe

Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Maximale Ideale bei algebraisch abgeschlossenem Körper

Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}A$ eine endlich erzeugte ${}K$ - Algebra.

Dann ist jeder Restklassenkörper von ${}A$ isomorph zu ${}K$ .

Anders formuliert: Jedes maximale Ideal in ${}A$ ist ein Punktideal.

Frage:

Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}A$ eine endlich erzeugte ${}K$ -Algebra. Dann ist jeder Restklassenkörper von ${}A$ isomorph zu ${}K$ .

Beweisaufgabe

Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Der Hilbertsche Nullstellensatz

Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ verschwindet.

Dann gehört ${}F$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ , d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$ .

Frage:

Die geometrische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ verschwindet. Dann gehört ${}F$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ , d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$ .

Beweisaufgabe

Beweise die geometrische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Radikale und affin-algebraische Mengen

Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

Frage:

Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ . Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Beweisaufgabe

Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Überdeckung und Einheitsideal

Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , ${}i\in I$ , Polynome mit

{}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Frage:

Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , ${}i\in I$ , Polynome mit

{}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Koordinatenring des affinen Raumes

Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper.

Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Frage:

Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.

Affiner Raum und Einsetzungshomomorphismen

Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen.

Dann stehen die ${}K$ - Algebrahomomorphismen von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach ${}K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ ,

und zwar entspricht dem Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ . Mit anderen Worten,

{}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.

Frage:

Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt/Name

Antwort:

Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

K-Spektrum und ${}V({\mathfrak {a}})$

Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$ - Algebra mit ${}K$ - Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ . Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Dann stiftet die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Frage:

Der Satz über die Beziehung des ${}K$ -Spektrums von einem Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ zum Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$ -Algebra mit ${}K$ -Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ . Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ . Dann stiftet die Abbildung

K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Beweisaufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$ - Algebra mit ${}K$ - Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ . Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ . Zeige, dass die die Abbildung

K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Stetigkeit der Spektrumsabbildung

Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$ - Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$ - Algebrahomomorphismus.

Dann induziert dies eine Abbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$

Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.

Frage:

Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$ -Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung

\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .

Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.

${}D(f)$ und ${}R_{f}$

Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R_f/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$ - Algebra, ${}f\in R$ .

Dann ist die Zariski-offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ .

Frage:

Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Name

Antwort:

Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Beweis/Aufgabe

Globaler Schnittring

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ - Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ - Spektrum von ${}R$ .

Dann ist

${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$

Frage:

Der Satz über den globalen Schnittring eines ${}K$ -Spektrums.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ -Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ -Spektrum von ${}R$ . Dann ist

{}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines ${}K$ -Spektrums.

Schnittring zu D(f)

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R_f/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ - Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ - Spektrum von ${}R$ . Es sei ${}F\in R$ mit zugehöriger offener Menge ${}D(F)\subseteq V$ .

Dann ist

${}\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.$

Frage:

Der Satz über den globalen Schnittring zu ${}D(f)$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ - Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ - Spektrum von ${}R$ . Es sei ${}F\in R$ mit zugehöriger offener Menge ${}D(F)\subseteq V$ . Dann ist

{}\Gamma (D(F),{\mathcal {O}})=R_{F}\,.

Beweisaufgabe

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R f/Fakt/Beweis/Aufgabe

Halm und Lokalisierung

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt

Es sei ${}R$ eine reduzierte kommutative Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ . Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt im ${}K$ - Spektrum mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie (von ${}R$ -Algebren)

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P}.$

Frage:

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Name

Antwort:

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Durchschnitt von lokalen Ringen

K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine integre ${}K$ - Algebra von endlichem Typ. Es sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.

Dann ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{P\in U}{\mathcal {O}}_{P}\,$

(dabei wird der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen).

Frage:

K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt/Name

Antwort:

K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Algebraische Funktion im integren Fall

K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine integre ${}K$ - Algebra von endlichem Typ, und sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine offene nicht-leere Teilmenge.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten injektiven ${}R$ - Algebrahomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow Q(R).$

Insbesondere ist jede auf einer nicht-leeren offenen Menge ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ definierte algebraische Funktion ein Element im Quotientenkörper ${}Q(R)$ .

Frage:

K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Name

Antwort:

K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Beweis/Aufgabe

Ringhomomorphismus und Morphismus

K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$ - Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$ - Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ .

Dann ist die durch einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X$

ein Morphismus.

Frage:

Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$ -Algebren vom endlichen Typ mit zugehörigen ${}K$ -Spektren ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ . Dann ist die durch einen ${}K$ -Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ induzierte Spektrumsabbildung

\varphi ^{*}\colon Y\longrightarrow X

ein Morphismus.

Beweisaufgabe

K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Algebraische Funktion und Morphismus auf affine Gerade

Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine algebraische Funktion.

Dann definiert ${}f$ einen Morphismus

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong K.$

Frage:

Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Name

Antwort:

Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt/Beweis/Aufgabe

Charakterisierung der Morphismen in eine affine Varietät

Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ , wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$ -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper ${}K$ sei. Es sei ${}S$ eine weitere kommutative ${}K$ -Algebra von endlichem Typ.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)})\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(S,\Gamma (U,{\mathcal {O}})\right)},\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }},$

wobei ${}{\tilde {\psi }}$ den zu ${}{\psi }$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.

Frage:

Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Name

Antwort:

Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt/Beweis/Aufgabe

Universelle Eigenschaft der Monoidringe

Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$ -Algebra und

\varphi \colon M\longrightarrow B

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$ ).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$ - Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Frage:

Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.

Antwort:

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$ -Algebra und

\varphi \colon M\longrightarrow B

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$ ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$ -Algebrahomomorphismus

{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B

derart, dass das Diagramm

{\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.

Funktorialität im Monoid von Monoidringen

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei

\varphi \colon M\longrightarrow N

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen ${}R$ - Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow R[N],\,X^{m}\longmapsto X^{\varphi (m)}.$

Frage:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Beweis/Aufgabe

Injektivität und Surjektivität zwischen Monoidringen

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige ${}R$ - Algebrahomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

Frage:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Erzeugendensysteme für Monoide und Monoidringe

Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$ , eine Familie von Elementen aus ${}M$ .

Dann bilden die ${}m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$ , wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$ , ein ${}R$ -Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring ${}R[M]$ bilden.

Frage:

Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Funktorialität im Ring von Monoidringen

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S$ eine ${}R$ - Algebra. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid.

Dann gibt es einen natürlichen ${}R$ - Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow S[M],\,\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\longmapsto \sum _{m\in M}a_{m}X^{m},$

(die Koeffizienten aus ${}R$ werden also einfach in ${}S$ aufgefasst).

Frage:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Numerisches Monoid:Für großes n?

Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugt sei.

Dann gibt es zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ eine Darstellung

$m=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}{\text{ mit }}0\leq a_{i}<e_{i+1}{\text{ für }}1\leq i\leq n-1.$

Für ${}m$ hinreichend groß kann man zusätzlich noch ${}a_{n}\geq 0$ erreichen, sodass es dann eine Darstellung mit nichtnegativen Koeffizienten gibt.

Frage:

Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Name

Antwort:

Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Beweise den Satz für numerische Monoide für große ${}n$ .

Monomiale Kurvenabbildung

Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde natürliche Zahlen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid.

Dann ist die monomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$

eine Bijektion.

Frage:

Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Name

Antwort:

Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe

Standard-Erzeugendensystem für numerisches Monoid

Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern, und es sei ${}M_{+}={\left\{m\in M\mid m\geq 1\right\}}$ und ${}M_{+}+M_{+}={\left\{m+m'\mid m,m'\in M_{+}\right\}}$ .

Dann ist

$M_{+}\setminus (M_{+}+M_{+})$

ein Erzeugendensystem für ${}M$ , und jedes andere Erzeugendensystem enthält dieses.

Frage:

Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt/Name

Antwort:

Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt/Beweis/Aufgabe

Gleichungen für monomiale Kurven

Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$ .

Dann wird das Kernideal durch

$\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$

(mit ${}r_{i},s_{i}\geq 1$ ) beschrieben.

Frage:

Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.

Antwort:

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$ . Dann wird das Kernideal durch

\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.

Charakterisierung von ganzen Elementen

Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}x$ ist ganz über ${}R$ .

Es gibt eine ${}R$ -Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$ -Modul ist.

Es gibt einen endlichen ${}R$ -Untermodul ${}M$ von ${}S$ , der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$ .

Frage:

Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Antwort:

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

${}x$ ist ganz über ${}R$ .
Es gibt eine ${}R$ -Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$ -Modul ist.
Es gibt einen endlichen ${}R$ -Untermodul ${}M$ von ${}S$ , der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$ .

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Der ganze Abschluss

Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$ -Unteralgebra von ${}S$ .

Frage:

Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Name

Antwort:

Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Normalität faktorieller Bereiche

Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

Frage:

Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.

Antwort:

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist ${}R$ normal.

Beweisaufgabe

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

Integrität von Monoidringen

Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.

Dann ist der Monoidring ${}R[M]$ ein Integritätsbereich.

Frage:

Der Satz über die Integrität von Monoidringen.

Antwort:

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt. Dann ist der Monoidring ${}R[M]$ ein Integritätsbereich.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

Normalisierung von Monoidringen

Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$ , ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$ . Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$ .

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

Frage:

Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.

Antwort:

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$ , ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$ . Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$ .

Beweisaufgabe

Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Normalisierung von monomialen Kurven

Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid, und ${}K[M]\subseteq K[T]$ die zugehörige Ringerweiterung von Monoidringen.

Dann ist ${}K[T]$ die Normalisierung von ${}K[M]$ .

Mit anderen Worten: Die monomiale Abbildung

{\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}

ist eine Normalisierung.

Frage:

Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt/Name

Antwort:

Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.

${}R$ ist ein Hauptidealbereich.

${}R$ ist faktoriell.

${}R$ ist normal.

${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Frage:

Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.

Antwort:

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
${}R$ ist faktoriell.
${}R$ ist normal.
${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Beweisaufgabe

Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Lemma von Nakayama

Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$ - Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt.

Dann ist ${}V=0$ .

Frage:

Das Lemma von Nakayama.

Antwort:

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$ -Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt. Dann ist ${}V=0$ .

Beweisaufgabe

Beweise das Lemma von Nakayama.

Modulerzeuger und Erzeuger mod ${}{\mathfrak {m}}$

Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$ - Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$ - Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

Frage:

Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Name

Antwort:

Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt/Beweis/Aufgabe

Einbettungsdimension und Kotangentialraum

Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein noetherscher lokaler Ring.

Dann ist die Einbettungsdimension gleich

${}\mu ({\mathfrak {m}})=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

Frage:

Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt/Name

Antwort:

Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt/Beweis/Aufgabe

Einbettungsdimension und numerische Einbettungsdimension

Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei ${}R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$ .

Dann ist die numerische Einbettungsdimension von ${}M$ (bzw. $K[M]$ ) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$ .

Frage:

Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt/Name

Antwort:

Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Intrinsische Charakterisierung der Multiplizität

Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt

Es sei ${}P\in V=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt auf einer ebenen affinen Kurve. Es sei ${}R={\mathcal {O}}_{V,P}$ der zugehörige lokale Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ .

Dann gilt für die Multiplizität ${}m_{P}$ von ${}P$ die Gleichung

$m_{P}=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\right)}{\text{ für }}n{\text{ hinreichend groß}}.$

Frage:

Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Name

Antwort:

Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe

Glattheit und Normalität

Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve ${}C=V(F)$ . Es sei ${}P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ .

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.

Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.

${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.

${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

Frage:

Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve ${}C=V(F)$ . Es sei ${}P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Hilbert-Samuel Multiplizität und numerische Multiplizität

Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität ${}e_{1}$ . Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes ${}K[M]$ , das dem Nullpunkt entspricht.

Dann gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\dim _{K}{\left(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}}{n}}=e_{1}\,.$

Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.

Frage:

Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.

Antwort:

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität ${}e_{1}$ . Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(M_{+})$ das maximale Ideal des Monoidringes ${}K[M]$ , das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt

{}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {dim} _{K}(K[M]/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}=e_{1}\,.

Beweisaufgabe

Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Tangente unter Parametrisierung

Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}

eine durch ${}n$ Polynome ${}\varphi =\left(\varphi _{1}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right)$ in einer Variablen gegebene Abbildung, deren Bild in der Kurve ${}C=V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ liege. Es sei ${}P=\varphi (Q)\in C$ .

Dann liegt der (Ableitungs)-Vektor ${}{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial t}}(Q)\right)}$ im Kern der durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{ij}$

definierten linearen Tangentialabbildung

$(TF)_{P}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}.$

Ist ${}n=2$ und verschwinden nicht beide partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ und ist ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$ , so definiert der Vektor ${}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\,{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial t}}(Q)\right)$ die Richtung der Tangente von ${}C$ in ${}P$ .

Frage:

Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt/Name

Antwort:

Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt/Beweis/Aufgabe

Potenzreihen und Einheiten

Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Frage:

Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ .

Potenzreihenring in einer Variablen

Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Frage:

Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings ${}K[\![T]\!]$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings ${}K[\![T]\!]$ .

Einsetzen von Potenzreihen

Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ . Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$ .

Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus

$K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

Frage:

Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ . Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$ . Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$ -Algebrahomomorphismus

K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).

Beweisaufgabe

Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Automorphismen auf Potenzreihenring

Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$ .

Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$ - Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$ .

Frage:

Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$ . Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$ -Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$ .

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Notwendige Tangentenbedingung für Potenzreihenlösung

Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom mit homogener Zerlegung ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ mit ${}d\geq m\geq 1$ und ${}F_{m}\neq 0$ . Es sei

{}F_{m}=\prod _{\lambda =1}^{m}(u_{\lambda }X+v_{\lambda }Y)\,

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (diese Linearfaktoren definieren also die Tangenten von ${}C=V(F)$ an ${}P=(0,0)$ ). Es seien

G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ und }}H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]

Potenzreihen, die eine Lösung der Kurvengleichung ${}F=0$ durch den Nullpunkt beschreiben (d.h. ${}a_{0}=b_{0}=0$ ).

Dann ist ${}u_{\lambda }a_{1}+v_{\lambda }b_{1}=0$ für ein ${}\lambda$ , d.h. der lineare Term der Potenzreihen ist durch eine der Tangenten vorgegeben.

Frage:

Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Name

Antwort:

Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Beweis/Aufgabe

Hinreichende Tangentenbedingung für Potenzreihenlösung

Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom ${}\neq 0$ mit ${}(0,0)\in C=V(F)$ und sei ${}F=F_{d}+\cdots +F_{m}$ die homogene Zerlegung von ${}F$ mit ${}d\geq m$ und mit ${}F_{m}\neq 0$ . Es sei ${}uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von ${}F_{m}$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität ${}1$ definiert).

Dann gibt es Potenzreihen

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n},\,H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

mit ${}F(G,H)=0$ und mit konstantem Term ${}a_{0},b_{0}=0$ und mit ${}a_{1}u+b_{1}v=0$ .

Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.

Frage:

Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Name

Antwort:

Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Beweis/Aufgabe

Schnittmultiplizität und Multiplizität

Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$ , ${}m\leq d$ , ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$ , die keine Komponente von ${}V(F)$ sei.

Dann ist

${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.

Wenn ${}L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

Frage:

Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$ , ${}m\leq d$ , ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$ , die keine Komponente von ${}V(F)$ sei. Dann ist

{}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität (beim Schnitt mit einer Geraden) und die Multiplizität einer Kurve.

Schnittmultiplizität und transversaler Schnitt

Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei

{}P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,

ein Schnittpunkt.

Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in ${}P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität ${}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

Frage:

Der Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei

{}P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,

ein Schnittpunkt. Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in ${}P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität ${}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.

Kurvenschnitt und Produktring

Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die endlich vielen Punkte aus ${}V(F,G)$ mit den zugehörigen maximalen Idealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$ in ${}K[X,Y]$ .

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}K[X,Y]/(F,G)\cong (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{1}})/(F,G)\times \cdots \times (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{n}})/(F,G)\,.$

Frage:

Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt/Name

Antwort:

Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Summe der Schnittmultiplizitäten

Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.$

Frage:

Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist

{}\dim _{K}{\left(K[X,Y]/(F,G)\right)}=\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(F,G)\,.

Beweisaufgabe

Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt/Beweis/Aufgabe

Projektiver Abschluss

Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät.

Dann wird der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

wobei ${}{\mathfrak {b}}$ die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$ in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet.

Frage:

Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ .

Noethersche Normalisierung für projektive Kurven

Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ .

Dann gibt es einen surjektiven Morphismus

$C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart, dass alle Fasern aus maximal ${}d$ Punkten bestehen.

Frage:

Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ . Dann gibt es einen surjektiven Morphismus

C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}

derart, dass alle Fasern aus maximal ${}d$ Punkten bestehen.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Fortsetzung von rationalen Funktionen

Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte irreduzible ebene projektive Kurve. Es sei ${}D=C\cap D_{+}(Z)\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein affines Teilstück davon. Es sei ${}q=g/h\in Q(R)$ eine rationale Funktion (mit $g,h\in R,\,h\neq 0$ ).

Dann gibt es einen eindeutigen Morphismus

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}D(h)&{\stackrel {g/h}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong D_{+}(s)&\\\downarrow &&\downarrow &\\C&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Frage:

Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt/Name

Antwort:

Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt/Beweis/Aufgabe

Projektive Parametrisierung

Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt

Es sei

{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},

eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei ${}d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${}{\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen ${}t$ ) davon. Es seien ${}H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von ${}t$ derart, dass ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad ${}d$ besitzen.

Dann definieren die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus

$H\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(H_{1}(s,t),\,H_{2}(s,t),\,H_{3}(s,t)\right),$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {H}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{2}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ ist.

Dabei liegt das Bild unter ${}H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.

Frage:

Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Name

Antwort:

Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Beweis/Aufgabe

Der Satz von Bezout

Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad ${}m$ und ${}n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven ${}C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ .

Dann gilt

${}\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.$

Frage:

Der Satz von Bezout.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y,Z]$ zwei homogene Polynome vom Grad ${}m$ und ${}n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven ${}C=V_{+}(F),D=V_{+}(G)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ . Dann gilt

{}\sum _{P}\operatorname {mult} _{P}(C,D)=mn\,.

Beweisaufgabe

Beweise den Satz von Bezout.