Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 19

Restklassendarstellung für monomiale Kurven

Es sei $M \subseteq ℕ$ ein numerisches Monoid, das von den teilerfremden natürlichen Zahlen $e_{1}, \dots, e_{n}$ erzeugt werde. Die zugehörige Surjektion $ℕ^{n} \to M \subseteq ℕ$ führt zu einer Surjektion

K [X_{1}, \dots, X_{n}] ⟶ K [M], X_{i} ⟼ T^{e_{i}},

und einer abgeschlossenen Einbettung $C = K - Spek (K [M]) ↪ 𝔸_{K}^{n}$ . Durch welche Gleichungen lässt sich $C$ beschreiben?

Satz

Es sei $M \subseteq ℕ$ ein durch teilerfremde Elemente $e_{1}, \dots, e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei $ℕ^{n} \to M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $φ : K [X_{1}, \dots, X_{n}] \to K [M]$ .

Dann wird das Kernideal durch

$\ker φ = (\prod_{i \in I_{1}} X_{i}^{r_{i}} - \prod_{i \in I_{2}} X_{i}^{s_{i}} : I_{1}, I_{2} \subseteq {1, \dots, n} disjunkt, \sum_{i \in I_{1}} r_{i} e_{i} = \sum_{i \in I_{2}} s_{i} e_{i})$

(mit $r_{i}, s_{i} \geq 1$ ) beschrieben.

Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

φ (\prod_{i \in I_{1}} X_{i}^{r_{i}}) = \prod_{i \in I_{1}} {(t^{e_{i}})}^{r_{i}} = t^{\sum_{i \in I_{1}} r_{i} e_{i}} .

Für die Umkehrung sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Polynom mit $φ (F) = 0$ . Wir schreiben

F = \sum_{ν} a_{ν} X^{ν}

(mit $ν = (ν_{1}, \dots, ν_{n})$ ). Daher ist

φ (F) = \sum_{ν} a_{ν} t^{\sum_{i = 1}^{n} ν_{i} e_{i}} = \sum_{k = 0} (\sum_{ν : \sum_{i = 1}^{n} ν_{i} e_{i} = k} a_{ν}) t^{k} .

Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch

F_{k} = \sum_{ν : \sum_{i = 1}^{n} ν_{i} e_{i} = k} a_{ν} X^{ν}

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^{ν}$ mit dem gleichen Wert $\sum_{i = 1}^{n} ν_{i} e_{i} = k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$ , sagen wir $X^{ν}$ (mit $a_{ν} \neq 0$ ). Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^{μ}$ , vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben

F = a_{ν} (X^{ν} - X^{μ}) + (F - a_{ν} X^{ν} + a_{ν} X^{μ}) .

Im Summand rechts kommt $X^{ν}$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In $X^{ν} - X^{μ}$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

X^{ν} - X^{μ} = X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}} (\prod_{i \in I_{1}} X_{i}^{r_{i}} - \prod_{i \in I_{2}} X_{i}^{s_{i}})

mit disjunkten $I_{1}$ und $I_{2}$ und mit $\sum_{i \in I_{1}} e_{i} r_{i} = \sum_{i \in I_{2}} e_{i} s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.

◻

Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennt man binomiale Gleichungen. Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart ( $i \neq j$ )

X_{i}^{e_{j} / ggT (e_{i}, e_{j})} = X_{j}^{e_{i} / ggT (e_{i}, e_{j})} .

Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.

Korollar

Es sei $C$ die durch $t \mapsto (t^{e_{1}}, t^{e_{2}}) = (x, y)$ (mit $e_{1}, e_{2}$ teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.

Dann ist

$C = V (X^{e_{2}} - Y^{e_{1}}) .$

Beweis

Dies folgt sofort aus Satz 19.1.

◻

Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.

Beispiel

Es sei $C \subset 𝔸_{K}^{3}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch $t \mapsto (t, t^{2}, t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Satz 19.1 gleich

𝔞 = (Y - X^{2}, Z - X^{3}, Y^{3} - Z^{2}, Z - X Y) = (Y - X^{2}, Z - X^{3}) .

Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also

C = V (Y - X^{2}, Z - X^{3}) .

Die Bilder von $C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind

C_{1} = V (Z^{2} - Y^{3}), C_{2} = V (Z - X^{3}), C_{3} = V (Y - X^{2}) .

Dabei sind $C_{2}$ und $C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während $C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.

Beispiel

Es sei $C$ die durch

t ⟼ (t^{3}, t^{4}, t^{5}) = (x, y, z)

gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Satz 19.1 schauen, welche Potenzen davon, wenn man die $t$ -Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.

Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind

Y^{3} = X^{4}, Z^{3} = X^{5}, Z^{4} = Y^{5} .

Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.

In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit $X$ . Zunächst lassen sich $X$ und $X^{2}$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir $X^{3} = T^{9} = Y Z$ . Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung $X^{k} = Y^{i} Z^{j} = Y^{a} Z^{b}$ , dass man zwischen Potenzen von $Y$ und von $Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von $X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für $X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich $X^{k} = Y^{i} Z^{j}$ , so ist $k \geq 3$ . Bei $i = 0$ oder $j = 0$ haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also $i, j \geq 1$ . Dann kann man aber mittels der Gleichung $X^{3} = Y Z$ die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von $X$ um $3$ reduziert und die Exponenten von $Y$ und von $Z$ um $1$ ).

Für $Y$ hat man sofort die Gleichung $Y^{2} = Z X$ , mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.

Für $Z$ hat man $Z^{2} = X^{2} Y$ und $Z^{3} = X Y^{3}$ . Es gibt keine kleineren Monome in $X$ und $Y$ , die man als Potenz von $Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.

Insgesamt haben wir also für die Kurve $C$ die Gleichungen

C = V (Y^{3} - X^{4}, Z^{3} - X^{5}, Z^{4} - Y^{5}, X^{3} - Y Z, Y^{2} - X Z, Z^{2} - X^{2} Y, Z^{3} - X Y^{3}) .

Ganzheit

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x \in S$ heißt eine Gleichung der Form

x^{n} + r_{n - 1} x^{n - 1} + r_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + r_{1} x + r_{0} = 0,

wobei die Koeffizienten $r_{i}, i = 0, \dots, n - 1$ , zu $R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für $x$ .

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element $x \in S$ heißt ganz (über $R$ ), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente $x \in S$ , die ganz über $R$ sind, den ganzen Abschluss von $R$ in $S$ .

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt $S$ ganz über $R$ , wenn jedes Element $x \in S$ ganz über $R$ ist.

$S$ ist genau dann ganz über $R$ , wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.

Lemma

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x \in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

$x$ ist ganz über $R$ .

Es gibt eine $R$ -Unteralgebra $T$ von $S$ mit $x \in T$ und die ein endlicher $R$ -Modul ist.

Es gibt einen endlichen $R$ -Untermodul $M$ von $S$ , der einen Nichtnullteiler aus $S$ enthält, mit $x M \subseteq M$ .

Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$ -Unteralgebra $R [x]$ von $S$ , die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

x^{n} + r_{n - 1} x^{n - 1} + r_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + r_{1} x + r_{0} = 0

ergibt sich

x^{n} = - r_{n - 1} x^{n - 1} - r_{n - 2} x^{n - 2} - \dots - r_{1} x - r_{0} .

Man kann also $x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\leq n - 1$ ersetzen. Damit ist

R [x] = R + R x + R x^{2} + \dots + R x^{n - 2} + R x^{n - 1}

und die Potenzen $x^{0} = 1, x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n - 1}$ bilden ein endliches $R$ -Modul-Erzeugendensystem von $T = R [x]$ .

(2) $\Rightarrow$ (3). Es sei $x \in T \subseteq S$ , $T$ eine $R$ -Unteralgebra, die als $R$ -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist $x T \subseteq T$ , und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$ .

(3) $\Rightarrow$ (1). Sei $M \subseteq S$ ein endlich erzeugter $R$ -Untermodul mit $x M \subseteq M$ . Es seien $y_{1}, \dots, y_{n}$ erzeugende Elemente von $M$ . Dann ist insbesondere $x y_{i}$ für jedes $i$ eine $R$ -Linearkombination der $y_{j}, j = 1, \dots, n$ . Dies bedeutet

x y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} r_{i j} y_{j}

mit $r_{i j} \in R$ , oder, als Matrix geschrieben,

x (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} r_{1, 1} & r_{1, 2} & \dots & r_{1, n} \\ r_{2, 1} & r_{2, 2} & \dots & r_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ r_{n, 1} & r_{n, 2} & \dots & r_{n, n} \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) .

Dies schreiben wir als

0 = (\begin{matrix} x - r_{1, 1} & - r_{1, 2} & \dots & - r_{1, n} \\ - r_{2, 1} & x - r_{2, 2} & \dots & - r_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - r_{n, 1} & - r_{n, 2} & \dots & x - r_{n, n} \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) .

Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$ ), und sei $A^{adj}$ die adjungierte Matrix. Dann gilt $A^{adj} A y = 0$ ( $y$ bezeichne den Vektor $(y_{1}, \dots, y_{n})$ ) und nach der Cramerschen Regel ist $A^{adj} A = (det A) E_{n}$ , also gilt

((det A) E_{n}) y = 0 .

Es ist also $(det A) y_{j} = 0$ für alle $j$ und damit

(det A) z = 0

für alle $z \in M$ . Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss $det A = 0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$ , sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

◻

Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $S$ eine $R$ -Unteralgebra von $S$ .

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X - r, r \in R$ , zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Es seien $x_{1} \in S$ und $x_{2} \in S$ ganz über $R$ . Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$ -Unteralgebren $T_{1}, T_{2} \subseteq S$ mit $x_{1} \in T_{1}$ und $x_{2} \in T_{2}$ . Es sei $y_{1}, \dots, y_{n}$ ein $R$ -Erzeugendensystem von $T_{1}$ und $z_{1}, \dots, z_{m}$ ein $R$ -Erzeugendensystem von $T_{2}$ . Wir können annehmen, dass $y_{1} = z_{1} = 1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$ -Modul

T = T_{1} \cdot T_{2} = ⟨ y_{i} z_{j}, i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m ⟩,

der offensichtlich $x_{1} + x_{2}$ und $x_{1} x_{2}$ (und $1$ ) enthält. Dieser $R$ -Modul $T$ ist auch wieder eine $R$ -Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

(\sum r_{i j} y_{i} z_{j}) (\sum s_{k l} y_{k} z_{l}) = \sum r_{i j} s_{k l} y_{i} y_{k} z_{j} z_{l},

und für die Produkte gilt $y_{i} y_{k} \in T_{1}$ und $z_{j} z_{l} \in T_{2}$ , sodass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$ , der $R$ enthält. Also liegt eine $R$ -Unteralgebra vor.

◻

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt $R$ ganz-abgeschlossen in $S$ , wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

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