Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 20

Normale Ringe und Normalisierung

Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist $R$ normal.

Beweis

Es sei  $K=Q(R)$  der Quotientenkörper von $R$ und  $q\in K$  ein Element, das die Ganzheitsgleichung

$q^n+r_{n-1}{q}^{n-1}+r_{n-2}{q}^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_0=0$

mit  $r_i\in R$  erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\ne 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir müssen zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann  $q=a{b}^{-1}$  zu $R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$

$a^n+\left(r_{n-1}b\right)a^{n-1}+\left(r_{n-2}{b}^2\right)a^{n-2}+\cdots +\left(r_1{b}^{n-1}\right)a+\left(r_0{b}^n\right)=0.$

Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden $\left(r_{n-i}{b}^i\right)a^{n-i}$ für $i\ge 1$ und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist, im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

$◻$

Lemma

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System.

Dann ist auch die Nenneraufnahme $R_S$ normal.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.6.

$◻$

Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.

Die Normalisierung ist nach Korollar 19.10 ein Unterring des Quotientenkörpers. Es ist eine nichttriviale Tatsache, dass falls $R$ von endlichem Typ über einem Körper ist, dann auch die Normalisierung davon von endlichem Typ ist.

Normalisierung von Monoidringen

Wir wollen besprechen, wann Monoidringe normal sind und wie gegebenenfalls die Normalisierung eines Monoidrings aussieht. Hierzu brauchen wir zunächst Bedingungen, die sicherstellen, dass ein Monoidring über einem Integritätsbereich wieder integer ist.

Definition

Ein kommutatives Monoid $M$ heißt torsionsfrei, wenn für  $m,n\in M$  aus  $rm=rn$  für eine positive Zahl  $r\in {\mathbb{N}}_{+}$  stets  $m=n$  folgt.

Satz

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.

Dann ist der Monoidring $R[M]$ ein Integritätsbereich.

Beweis

Zunächst ist  $M\subseteq \Gamma (M)$,  wobei $\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu $M$ bezeichnet. Damit ist  $R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$  ein Unterring, und es genügt die Aussage für $R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da $M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe 20.10 auch $\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass $M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun

$\sum _{n\in M}{a}_n{X}^n\cdot \sum _{n\in M}{b}_n{X}^n=0.$

Da hier fast alle Koeffizienten $0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe $U$ der torsionsfreien Gruppe $M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann  $U\cong {\mathbb{Z}}^n$.  Wir können also sogar  $M={\mathbb{Z}}^n$  annehmen. Dann ist aber $R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

$◻$

Für ein Monoid ohne Kürzungsregel kann der zugehörige Monoidring über einem Integritätsbereich Nullteiler besitzen.

Beispiel

Es sei $M$ ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente $m$ und $n$ gebe mit  $m+n=n+n$.  Daraus folgt ohne die Kürzungsregel nicht  $m=n$.  Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich $R$ ist $X^m-X^n\ne 0$ und $X^n\ne 0$, aber

$(X^m-X^n)X^n=X^{m+n}-X^{n+n}=X^{2n}-X^{2n}=0.$

Definition

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

$\tilde{M}=\{m\in \Gamma (M)\mid \text{ es gibt }r\in {\mathbb{N}}_{+}\text{ mit }rm\in M\}$

die Normalisierung von $M$.

Satz

Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe $\Gamma (M)$ und mit Normalisierung $\tilde{M}$, $M\subseteq \tilde{M}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes $R[M]$ der Monoidring $R[\tilde{M}]$.

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

Beweis

Zunächst ist

$R[M]\subseteq R[\tilde{M}]\subseteq R[\Gamma (M)]\subseteq Q(R)[\Gamma (M)]\subseteq Q(R[M]).$

Es sei  $m\in \tilde{M}$  mit $m=n-k,n,k\in M$, und mit  $rm=m+m+\cdots +m=M$  ($r$ mal). Damit ist  $T^m=T^n/T^k$  ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist  $(T^m{)}^r\in R[M]$.  Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für $T^m$ vorliegt und damit $T^m$ zur Normalisierung von $R[M]$ gehört. Somit gilt  $K[\tilde{M}]\subseteq K[M{]}^{\mathrm{norm}}$.  Für die Umkehrung kann man $M$ durch $\tilde{M}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo $M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe $G$ der Gruppenring $R[G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass $R[M]$ in $R[\Gamma (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element  $q\in R(\Gamma (M))$  und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe  $U\subseteq \Gamma (M)$,  sodass man  $\Gamma (M)={\mathbb{Z}}^n$  annehmen darf.

Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid  $M\subseteq {\mathbb{Z}}^n$  als der Durchschnitt (innerhalb von ${\mathbb{Q}}^n$ oder ${ℝ}^n$) von ${\mathbb{Z}}^n$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_i$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum $H$ durch eine lineare Abbildung $p:V={ℝ}^n\to ℝ$ mit  $H=p^{-1}({ℝ}_{+})$  gegeben. Daraus folgt, dass $M$ ein endlicher Durchschnitt  $M=\bigcap _{i\in I}{M}_i$  mit  $M_i=p_i^{-1}(\mathbb{N})$  ist. Daraus ergibt sich, dass die $M_i$ eine Form  $M_i\cong \mathbb{N}\times {\mathbb{Z}}^{n-1}$  haben. Damit ist  $R[M]=\bigcap _{i\in I}R[M_i]$  nach Aufgabe 20.7 normal, da die einzelnen  $R[M_i]\cong R[\mathbb{N}\times {\mathbb{Z}}^{n-1}]$  normal sind.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

$X^{2}Z=Y^2$

gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei

$M=⟨(1,0),(1,1),(0,2)⟩\subset {\mathbb{N}}^2.$

Wegen  $(1,1)-(1,0)=(0,1)$  ist ${\mathbb{Z}}^2$ das Differenzengitter (Differenzengruppe). Da  $2(0,1)=(0,2)\in M$  ist, muss ${\mathbb{N}}^2$ die Normalisierung von $M$ sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus

${\mathbb{N}}^3⟶M,e_i⟼m_i.$

Diese monomiale Abbildung ${\mathbb{N}}^3\to M\subset {\mathbb{N}}^2$ bedeutet geometrisch die Abbildung

${𝔸}_K^2⟶K-\mathrm{Spek}(K[M])\hookrightarrow {𝔸}_K^3,(s,t)⟼(s,st,t^2).$

Dabei gehen (monomial gesehen) $2e_1+e_3$ und $2e_2$ beide auf das Element $(1,1)$, und das liefert die Gleichung  $X^{2}Z=Y^2$,  die man natürlich auch direkt ablesen kann.

Man kann die definierende Gleichung auch als  $Z={\left(\frac{Y}{X}\right)}^2$  ansehen. Von $K[X,Y]$ ausgehend wird also ein Quadrat zu $\frac{Y}{X}$ adjungiert.

Beispiel

Wir betrachten das durch $(1,0),(-1,2)$ und $(0,1)$ erzeugte Untermonoid  $M\subseteq {\mathbb{Z}}^2$.  Für den zugehörigen Monoidring gilt  $K[M]\cong K[X,Y,Z]/(Z^2-XY)$.  Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger $(1,0)$ und $(-1,2)$ definieren je eine Gerade in ${ℝ}^2$, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im ${\mathbb{Z}}^2$) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen

$\{(s,t)\in {\mathbb{Z}}^2\mid t\ge 0\text{ und }t\ge -2s\}$

gegeben. Ein Punkt daraus mit  $s\ge 0$  gehört offensichtlich zu $M$. Es sei also $(s,t)$ ein Punkt daraus mit  $s<0$.  Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man

$(s,t)=-s(-1,2)+(t+2s)(0,1)$

schreiben, was wegen  $t+2s\ge 0$  zu $M$ gehört.

Mit den zwei Geraden lässt sich $M$ auch sofort als  $M=M_1\cap M_2$  beschreiben, mit  $M_1=\{(s,t)\mid t\ge 0\}\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$  und  $M_2=\{(s,t)\mid t\ge -2s\}\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$,  wobei die zweite Identifizierung von der $\mathbb{Z}$-Basis $(-1,2),(0,1)$ herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.

Monomiale Kurven und Normalisierung

Wir werden später sehen, dass eine algebraische Kurve genau dann normal ist, wenn sie nichtsingulär ist. Im Fall einer monomilaen Kurve lässt sich die Normalisierung einfach beschreiben.

Satz

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein durch teilerfremde $e_1,\dots ,e_n$ erzeugtes Untermonoid, und  $K[M]\subseteq K[T]$  die zugehörige Ringerweiterung von Monoidringen.

Dann ist $K[T]$ die Normalisierung von $K[M]$.

Mit anderen Worten: Die monomiale Abbildung

${𝔸}_K^1⟶K-\mathrm{Spek}(K[M])$

ist eine Normalisierung.

Beweis

Wir haben  $K[M]=K[T^{e_1},\dots ,T^{e_n}]\subseteq K[T]$.  Da die Exponenten teilerfremd sind, erzeugen sie die Eins und das bedeutet (multiplikativ betrachtet), dass es ein Monom in diesen Potenzen (auch mit negativen Exponenten) gibt, das gleich $T$ ist. D.h. $T$ ist ein Quotient von Elementen aus $K[M]$ und daher sind die Quotientenkörper gleich. Andererseits erfüllt $T$ eine Ganzheitsgleichung über $K[M]$, beispielsweise (richtig gelesen)  $T^{e_1}-T^{e_1}=0$.  Da $K[T]$ normal ist (sogar faktoriell, da es ja ein Hauptidealbereich ist), muss es sich um die Normalisierung handeln.

$◻$

Monomiale Kurven liefern also eine Vielzahl an Beispielen, wo die Normalisierung auf der Ebene der $K$-Spektren eine Bijektion ist. Es handelt sich auch um eine Homöomorphie bezüglich der Zariski-Topologie, die ja im Kurvenfall sehr einfach ist. Dennoch wäre es falsch, die beiden Kurven als identisch anzusehen. Die Normalisierung ist (bei $e_i\ne 1$ für alle $i$) auf der Ringebene keine Bijektion, und in der algebraischen Geometrie darf man nicht nur die mengentheoretische oder topologische Gestalt des Nullstellengebildes anschauen, man darf die Ringe (und die Gleichungen selbst) im Hintergrund nicht vergessen. Den Unterschied sieht man auch in der eingebetteten Situation, wo die Neilsche Parabel eine Spitze besitzt.

Mit der Normalisierung bekommt der Singularitätsgrad einer monomialen Kurve eine neue Interpretation.

Lemma

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Es sei  $R=K[M]$  der zugehörige Monoidring und  $R^{\mathrm{norm}}=K[T]$  die Normalisierung davon. Dann gilt für den Singularitätsgrad von $M$ die Gleichung

$\delta (M)={\dim }_K(R^{\mathrm{norm}}/R).$

Beweis

Die Normalisierung besitzt die $K$-Basis $T^m,m\in \mathbb{N}$, und der Monoidring $K[M]$ besitzt die $K$-Basis $T^m,m\in M$. Daher besitzt der Restklassenraum $K[T]/K[M]$ die $K$-Basis $T^m,m\in \mathbb{N}\setminus M$. Die Dimension des Restraumes ist die Anzahl der Elemente einer Basis, und diese Anzahl ist die Anzahl der Lücken, also der Singularitätsgrad von $M$.

$◻$

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