Kurs:Algebraische Zahlentheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	6	4	3	3	6	2	8	5	7	5	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Restekörper zu einem lokalen Ring ${}R$.
3. Ein ganzes Element ${}x\in S$ bei einer Ringerweiterung  ${}R\subseteq S$. 
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$.
5. Der Divisor zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich.
6. Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung  ${}A\subseteq B$  von diskreten Bewertungsringen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$. 
2. Der Satz über Ideale und Divisoren in einem Dedekindbereich.
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz.

Aufgabe (6 Punkte)

Beschreibe Parallelen zwischen Zahlen und Funktionen, wie sie in der algebraischen Zahlentheorie entwickelt werden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$  die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Zeige, dass die reelle Zahl

$n^{\frac {1}{k}}$

irrational ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}X=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  das Spektrum eines Zahlbereiches. Zeige, dass jede offene Menge von ${}X$ von der Form ${}D(f)$ mit einem  ${}f\in R$  ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle maximalen Ideale läuft und in ${}Q(R)$ genommen wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+1)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/\left(X^{4}+1\right)$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale. Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppe definieren, wenn sie als ${}R$-Moduln isomorph sind.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei

${}S=\mathbb {Z} [Y]/\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)\subseteq R_{15}=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)\,,$

wobei  ${}Y=X+X^{-1}$  ist.

1. Zeige, dass das Element

   ${}Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

   zu ${}S$ gehört.

2. Schreibe ${}Z$ als einen polynomialen Ausdruck in ${}Y$.
3. Beschreibe ${}S$ als eine quadratische Erweiterung von ${}\mathbb {Z} [Z]$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K_{5}$ der fünfte Kreisteilungskörper und ${}R_{5}$ der fünfte Kreisteilungsring. Bestimme die ${}3\times 3$-Matrizen, die die Operation der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ auf dem Modul der Kähler-Differentiale bezüglich der Basis aus Beispiel 19.8 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)) beschreiben.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}R=A_{-13}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-13$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien  ${}u,v\in R^{\times }$  Einheiten und ${}a,b$ von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen mit  ${}u^{a}=v^{b}$.  Zeige, dass es ganze Zahlen ${}c,d$ und Einheitswurzeln  ${}\zeta ,\xi \in \mu _{}\left(R\right)$  und eine Einheit ${}w$ derart gibt, dass  ${}u=\zeta w^{c}$  und  ${}v=\xi w^{d}$  gilt.