Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 16

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$,   ${}q\in \mathbb {Z}$  und  ${}a\neq 0$.  Zeige

${}\mathbb {Q} [X]/\left(X^{n}-q\right)\cong \mathbb {Q} [Y]/\left(Y^{n}-a^{n}q\right)\,.$

Aufgabe *

Es sei  ${}q\geq 2$  eine natürliche Zahl. Bestimme für die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)\,$

und ein Element ${}a+bx+cx^{2}$ mit  ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$  die Multiplikationsmatrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$, das charakteristische Polynom, die Norm und die Spur.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine quadratfreie Zahl ${}\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]/\left(X^{3}-b^{2}\right)$ nicht normal ist.

Aufgabe

Es sei  ${}q\geq 2$  und  ${}L=\mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)$.  Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von ${}L$.

Aufgabe

Analysiere die Fasern über ${}(p)$ zu  ${}\mathbb {Z} \subseteq R$,  wobei ${}R$ der Zahlbereich zur kubischen Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-5\right)$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring zur kubischen Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)$.  Zeige, dass die Faser über ${}(3)$ aus mehr als einem Punkt bestehen kann.

Aufgabe *

Es sei ${}q$ eine Primzahl mit  ${}q=\pm 1\mod 9$  und sei

${}R=\mathbb {Z} [x,z]\subseteq \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-q\right)\,$

mit  ${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$  der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Korollar 16.2. Bestimme Darstellungen für ${}x^{2},xz,z^{2}$ bezüglich der Ganzheitsbasis ${}1,x,z$.

Aufgabe

Zeige, dass  ${}S=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{3}-12\right)$  ein Integritätsbereich ist. Bestimme den Zahlbereich zu ${}S$.

Aufgabe *

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit  ${}a=\pm b\mod 9$.  Es sei  ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$,   ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$  und  ${}z={\frac {1+ax+x^{2}}{3}}$.  Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu  ${}L=\mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-ab^{2}\right)$  der Form ${}1,z,w$.

Drücke ${}x$ und ${}y$ durch die neue Basis aus.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass ${}R$ eine Restklassenbeschreibung mit (maximal) drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b$ verschiedene quadratfreie Zahlen ${}\neq 1$, die beide den Rest ${}1$ modulo ${}4$ haben. Es sei  ${}x={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}$  und  ${}y={\frac {1+{\sqrt {b}}}{2}}$.  Zeige, dass  ${}z={\frac {1+{\sqrt {ab}}}{2}}$  zu ${}\mathbb {Z} [x,y]$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten den ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto X^{3}.$

1. Zeige, dass auf der Ebene der Quotientenkörper  ${}K(Y)\subseteq K(X)$  eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$ vorliegt.
2. Bestimme für  ${}K=\mathbb {Z} /(p),\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$  die Faserringe zu ${}\varphi$ für die maximalen Ideale ${}\left(Y-a\right)$ zu  ${}a\in K$.  Welche sind reduziert? Sind die Restklassenkörper in den Fasern isomorph zu ${}K$ oder nicht?