Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 20

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung der Restekörper  ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$  vorliegt.

Aufgabe

Zeige, dass bei einem quadratischen Zahlbereich jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und sei  ${}K[X]\subseteq L[X]$  die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Beweise die fundamentale Gleichung in diesem Fall.

Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {53}{311}}\right).$

Aufgabe *

Berechne mithilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {563}{1231}}\right).$

Bemerkung: ${}563$ und ${}1231$ sind Primzahlen.

Aufgabe

Charakterisiere für den Ring

${}R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/\left(Y^{2}+Y+1\right)\,$

der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus ${}\mathbb {Z}$, die in ${}R$ verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.

Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass ${}7$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

Aufgabe

Bestimme für den kubischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$, welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung wirklich auftreten.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die biquadratische Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}]$  gegebenen Zahlbereich.