Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 23

Aufgaben

Aufgabe

Wo wird im Beweis zu Lemma 23.1 verwendet, dass  ${}q\neq 2$  ist? Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei  ${}n=q=2$,  welche nicht? Wie sieht es bei  ${}q=2$  und  ${}n=4$  aus?

Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall  ${}n=3$,  also im Fall der Eisenstein-Zahlen  ${}R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\mathrm {i} }}{2}}]$.  Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.32.

Aufgabe

Interpretiere Satz 23.2 im Fall  ${}n=4$,  also im Fall der Gaußschen Zahlen  ${}R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.  Vergleiche insbesondere mit Aufgabe 9.29.

Aufgabe *

Wir betrachten den siebten Kreisteilungsring ${}R_{7}$. Man finde für jedes numerische mögliche Zerlegungsverhalten in ${}R_{7}$ eine Primzahl  ${}q\neq 7$,  die dieses Zerlegungsverhalten besitzt.

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring ${}R_{8}$ für die Primzahlen  ${}q=2,3,5,7,11,13,17,19$. 

Aufgabe

Bestimme das Zerlegungsverhalten im Kreisteilungsring ${}R_{9}$ für die Primzahlen  ${}q=2,3,5,7,11,13,17,19$. 

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring. Bestimme die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe zu einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}(p)$.

Aufgabe

Es sei  ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/\left(\Phi _{n}\right)$  der ${}n$-te Kreisteilungsring und sei ${}p$ eine Primzahl, die ${}n$ nicht teile. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}p$ in der Einheitengruppe ${}\left(\mathbb {Z} /(n)\right)^{\times }$. Zeige, dass ${}p^{r}$ genau dann die Norm eines Ideals von ${}R_{n}$ ist, wenn ${}r$ ein Vielfaches von ${}f$ ist.

Aufgabe

Untersuche Korollar 23.3 für den Fall  ${}q=2$,  insbesondere bei  ${}n=1$  und  ${}n=2$. 

Aufgabe

Zeige, dass Korollar 23.3  (7) ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 21.3.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)\,$

der ${}p$-te Kreisteilungsring. Es sei

${}H\subseteq \left(\mathbb {Z} /(p)\right)^{\times }\cong \operatorname {Gal} \,(K_{p}{|}\mathbb {Q} )\,$

eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien

$H_{1}=H,\,H_{2},\ldots ,H_{k}\subseteq \left(\mathbb {Z} /(p)\right)^{\times }$

die Nebenklassen zu ${}H$. Zeige, dass der Invariantenring ${}R_{p}^{H}$ die Ganzheitsbasis

${}f_{j}=\sum _{a\in H_{j}}X^{a}\,$

zu  ${}j=1,\ldots ,k$  besitzt.

Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für  ${}p=5$. 

Aufgabe *

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für  ${}p=7$. 

Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasen für die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppe in der Situation von Aufgabe 23.11 für  ${}p=11$. 

Aufgabe *

Es sei  ${}S=\mathbb {Z} [2\zeta ]\subseteq R_{5}$  der durch ${}2\zeta$ erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei  ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$  die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

1. Bestimme eine Gleichung für ${}S$ über ${}\mathbb {Z}$.
2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf ${}S$ induziert.
3. Bestimme ${}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]$.

Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit Aufgabe 22.24 eine natürliche Erklärung für das in Aufgabe 22.20 beobachtete Verhalten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körperkette

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/\left(X^{3}-3X+1\right)\subseteq K_{9}\,$

und die zugehörige Kette von Zahlbereichen

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X]/\left(X^{3}-3X+1\right)\subseteq R_{9}\,.$

Wenn ${}\zeta$ eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei

${}X=\zeta +\zeta ^{-1}\,,$

vergleiche Aufgabe 22.23. Zeige, dass für jede Primzahl  ${}p\neq 3$  in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{3}-3X+1\right)$ eine der Beziehungen

${}X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$

gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von ${}p$ modulo ${}9$ abhängt, welche der drei Fälle gilt.

Aufgabe *

Zeige, dass im sechsten Kreisteilungsring ${}R_{6}$ weder ${}{\sqrt {6}}$ noch ${}{\sqrt {-6}}$ enthalten ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$

die (erste) quadratische Gaußsumme. Es sei ${}\sigma$ ein Automorphismus des ${}p$-ten Kreisteilungsringes. Zeige, dass  ${}\sigma (g)=g$  genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

${}\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong \left(\mathbb {Z} /(p)\right)^{\times }\cong \left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)\,$

${}\sigma$ durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}R_{p}$ der Kreisteilungsring zu einer ungeraden Primzahl ${}p$.

1. Zeige, dass das Quadrat ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ (in ${}R_{p}$ gemäß Lemma 23.7) modulo ${}4$ den Rest ${}1$ besitzt.
2. Bestimme den zugehörigen quadratischen Zahlbereich  ${}S\subseteq R_{p}$  zu ${}{\sqrt {\left({\frac {-1}{p}}\right)p}}$.
3. Begründe (1) und (2) über das Verzweigungsverhalten der ${}2$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl ${}p$. Zeige, dass der Kreisteilungsring ${}R_{4p}$ Quadratwurzeln zu ${}p$ und zu ${}-p$ enthält.