Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 26

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es ein Element  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximalen Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ gilt:

$f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl  ${}m\in \mathbb {N}$  derart gibt, dass das inverse Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ zu ${}{\mathfrak {a}}^{m}$ äquivalent ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}X=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  das Spektrum eines Zahlbereiches. Zeige, dass jede offene Menge von ${}X$ von der Form ${}D(f)$ mit einem  ${}f\in R$  ist.

Aufgabe

Zeige mit Korollar 26.11, dass der Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{5}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=5$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe *

Es sei  ${}R=A_{7}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=7$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{13}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=13$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{-7}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-7$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{-43}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-43$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{-67}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-67$.  Zeige mittels Korollar 26.11, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ${}D$ ein Vielfaches von ${}5$ und  ${}D=2,3\mod 4$.  Zeige: ${}A_{D}$ ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 10.2.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{10}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=10$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{-6}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-6$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe

Es sei  ${}R=A_{-14}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-14$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe *

Es sei  ${}R=A_{-17}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-17$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe *

Es sei  ${}R=A_{-21}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-21$.  Bestimme die Klassengruppe von ${}R$.

Aufgabe

Zeige, dass der siebte Kreisteilungsring ${}R_{7}$ faktoriell ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der achte Kreisteilungsring  ${}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+1)$  faktoriell ist.

Bemerkung: Der Betrag der Diskriminante von ${}R_{8}$ ist ${}256$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Definiere eine „Divisorenklassengruppe“ für die Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann ${}0$ ist, wenn ${}R_{f}$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {DKG} \left(R_{f}\right)$

geben.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${}R$ und ${}S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${}(R,+,0)$ und ${}(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${}(R,\cdot ,1)$ und ${}(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.