Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 3

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}a\in K$  ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}P\in K[X]$  ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring  ${}K[P]\subseteq K[X]$  isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge  ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$  der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass ${}R$ (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Aufgabe

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen  ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$  Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und  ${}R=C(M,\mathbb {R} )$  der Ring der stetigen Funktionen auf ${}M$. Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente  ${}f,g\in R$  die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

Aufgabe *

Zeige, dass es stetige Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit  ${}fg=0$  derart gibt, dass für alle  ${}\delta >0$  weder ${}f{|}_{[0,\delta ]}$ noch ${}g{|}_{[0,\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$C(Y,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f\in R$  ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f\in R$  sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei  ${}0\neq p\in R$  keine Einheit. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Ideal  ${}(p)\subset R$  ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in ${}R$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe *

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/\left(X^{3}+4X^{2}+X+5\right)$

das Produkt

$\left(2x^{2}+5x+3\right)\cdot \left(3x^{2}+x+6\right)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann der Nullring ist, wenn sein Spektrum ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ leer ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ eines kommutativen Ringes ${}R$ in der Tat eine Topologie ist.

Aufgabe *

Beweise Proposition 3.16.

Aufgabe

Skizziere das Spektrum von ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ für verschiedene Primzahlen ${}p$.

Aufgabe

Skizziere das Spektrum von ${}\mathbb {Z} [X]$.