Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesung 20

Zerlegungsverhalten

Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl ${}p$ in einem Zahlbereich ${}R$ zerlegt wird, also wie viele Primideale von ${}R$ oberhalb von ${}(p)$ liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von ${}p$ aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom Faserring ${}R/pR$ ab, von dem wir nach Korollar 8.8 wissen, dass ${}R/pR$ als additive Gruppe bzw. als ${}\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraum isomorph zu ${}\left(\mathbb {Z} /(p)\right)^{n}$ ist, wenn ${}n$ der Grad der Erweiterung ist.

Definition

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper  ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$  den Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}{\mathfrak {p}}$.

Bemerkung  

Wenn  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {m}}$, so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung

$R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S/{\mathfrak {n}}$

(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn ${}R$ und damit auch ${}S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik ${}p$, und daher liegt eine Erweiterung der Form  ${}{\mathbb {F} }_{q}\subseteq {\mathbb {F} }_{q'}$  mit  ${}q=p^{e}$  und  ${}q'=p^{e'}$  vor. Dabei muss ${}q'$ eine Potenz von ${}q$ sein, also  ${}p^{e'}=\left(p^{e}\right)^{\ell }$,  was bedeutet, dass ${}e'$ ein Vielfaches von ${}e$ ist. Bei  ${}q=p$  ist das natürlich keine Einschränkung.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung der Form  ${}S=R[X]/(F)$  mit einem normierten Polynom  ${}F\in R[X]$  vom Grad ${}d$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$.

Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über ${}{\mathfrak {p}}$ durch ${}d$ beschränkt.

Beweis

Durch Übergang mittels ${}R\rightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$ kann man direkt annehmen, dass  ${}R=K$  ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung  ${}K\subseteq K[X]/(F)=:B$  vor. Die Primideale von ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ entsprechen den Primidealen von ${}B$ und damit den irreduziblen Teilern von ${}F$ in ${}K[X]$. Sei  ${}F=F_{1}^{n_{1}}\cdots F_{k}^{n_{k}}$  die Primfaktorzerlegung von ${}F$ in ${}K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die

${}K\subseteq K[X]/\left(F_{j}\right)\,.$

Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$,  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$ mit der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

in ${}S$. Die Körpererweiterungen  ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$  haben die Trägheitsgrade ${}f_{j}$.

Dann ist

${}n=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.$

Wir können über dem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ${}S$ ein freier ${}R$-Modul vom Rang ${}n$ und somit ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,$

ein ${}R/{\mathfrak {p}}$-Vektorraum der Dimension ${}n$. Oben rechts steht das Produkt der ${}R/{\mathfrak {p}}$-Vektorräume ${}S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren ${}R/{\mathfrak {p}}$-Dimension gleich ${}e_{j}f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über  ${}e=e_{j}$,  wobei der Induktionsanfang für  ${}e=1$  die Definition des Trägheitsgrades ${}f_{j}$ ist. Wegen  ${}{\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}$  liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei ist

${}{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.$

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.

$\Box$

Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch fundamentale Gleichung. Nach Lemma 18.3 liegt genau dann Verzweigung oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ vor, wenn einer der Verzweigungsindizes ${}e_{j}$ größer als ${}1$ ist.

Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$,  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt voll zerlegt in ${}S$, wenn es ${}n$ Primideale in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Im voll zerlegten Fall ist  ${}e_{j}=f_{j}=1$  für  ${}j=1,\ldots ,n$.  Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper (der Faser) ${}R/{\mathfrak {p}}$ überein.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$,  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt unzerlegt in ${}S$, wenn es genau ein Primideal in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

In diesem Fall ist  ${}n=ef$. 

Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung  ${}\mathbb {R} [X]\subset {\mathbb {C} }[X]$.  Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper  ${}\mathbb {R} (X)\subset {\mathbb {C} }(X)$  vor, und ${}{\mathbb {C} }[X]$ ist der ganze Abschluss von ${}\mathbb {R} [X]$ in ${}{\mathbb {C} }(X)$. Die Primideale ${}\neq 0$ von ${}\mathbb {R} [X]$ sind von der Form ${}(X-a)$ mit  ${}a\in \mathbb {R}$  oder von der Form ${}\left(X^{2}+bX+c\right)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$. Die Primideale in ${}{\mathbb {C} }[X]$ sind alle von der Form ${}(X-a)$ mit  ${}a\in {\mathbb {C} }$. 

In der Erweiterung liegt über dem Primideal ${}(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist ${}1$ und die Restekörpererweiterung ist  ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$,  der Trägheitsgrad ist also ${}2$. Zu einem Primideal ${}\left(X^{2}+bX+c\right)$ zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien ${}z$ und ${}{\overline {z}}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Idealzerlegung  ${}\left(X^{2}+bX+c\right)=\left(X-z\right)\left(X-{\overline {z}}\right)$.  Die Verzweigungsordnungen sind also ${}1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also ${}1$. Diese Primideale sind voll zerlegt.

Zerlegung in quadratischen Zahlbereichen

Das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung kann man gut überblicken, wenn man das quadratische Reziprozitätsgesetz verwendet. Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob ${}p$ in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der „reziproken Eigenschaft“ steht, ob ${}q$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesung 8. Der Nachteil dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt. Wir werden das quadratische Reziprozitätsgesetz im Rahmen der Kreisteilungskörper in der 23. Vorlesung beweisen.

Definition

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl  ${}k\in \mathbb {Z}$  definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „ ${}k$ nach ${}p$“), durch

$\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$

Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den Anhang. Die folgende Aussage heißt Quadratisches Reziprozitätsgesetz.

Satz

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Satz

Es sei ${}q$ eine ungerade Primzahl und sei ${}A_{q}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann ist eine ungerade Primzahl  ${}p\neq q$  in ${}A_{q}$ genau dann voll zerlegt, wenn ${}p$ eine gewisse Kongruenzbedingung modulo ${}q$ erfüllt. Insbesondere gibt es unendliche viele Primzahlen ${}p$, die in ${}A_{q}$ voll zerlegt sind, und unendlich viele Primzahlen ${}p$, die in ${}A_{q}$ unzerlegt sind.

Beweis

Wenn Zerlegung stattfindet, so handelt es sich direkt um eine volle Zerlegung aufgrund von Satz 20.4 (oder wegen Aufgabe 9.20). Wegen  ${}p\neq 2$  und Satz 9.8 können wir direkt von der Beschreibung ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{2}-q\right)$ des Faserringes ausgehen. Zerlegung von ${}p$ liegt also genau dann vor, wenn ${}q$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist. Aufgrund des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes ist dies genau dann der Fall, wenn, abhängig von den Resten von ${}p$ und ${}q$ modulo ${}4$, ${}p$ ein Quadrat oder ein Nichtquadrat modulo ${}q$ ist. So oder so ist dies durch eine Kongruenzbedingung modulo ${}q$ festgelegt.

Nach dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen gibt es in jeder Resklasse ${}\neq 0$ modulo ${}q$ unendlich viele Primzahlen.

$\Box$

Weitere Beispiele

Beispiel

Es sei  ${}R=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)=\mathbb {Z} [x]$  der fünfte Kreisteilungsring. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst  ${}p=5$.  Hier ist über ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}(X-1)\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$

und somit  ${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$.  Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${}(5)$ und dessen Restklassenkörper ist ${}\mathbb {Z} /(5)$, der Trägheitsgrad ist also ${}1$ und der Verzweigungsindex ist ${}4$.

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen  ${}p\neq 5$  versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}\,.$

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel 17.5) zeigt  ${}v^{2}=5$,  d.h. es liegt ein Zwischenring

${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,$

vor, wobei der Ganzheitsring zu ${}{\sqrt {5}}$ mit Satz 9.8 bestimmt wurde.

Für

${}p=1,4\mod 5\,$

ist ${}5$ ein Quadrat modulo ${}p$. Über diesen Primzahlen liegen in ${}S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und dem Trägheitsgrad ${}1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad ${}2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ${}p$ ab.

Bei  ${}p=11$  sind ${}1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$

Über ${}(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad ${}1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen ${}p$ mit  ${}p=1\mod 5$  nach Korollar 23.3.

Bei  ${}p=4\mod 5$  gibt es nur die ${}1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=\left(X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X+1\right)\left(X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X+1\right)\,,$

wobei für ${}{\sqrt {5}}$ eine Quadratwurzel von ${}5$ aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ einzusetzen ist. Bei  ${}p=19$  ist beispielsweise  ${}9^{2}=5$  und daher ist

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=\left(X^{2}+5X+1\right)\left(X^{2}+15X+1\right)\,.$

Bei  ${}p=2,3\mod 5$  (aber ${}p\neq 2$) ist ${}5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ und somit ist

${}S/pS\cong {\mathbb {F} }_{p^{2}}\,.$

Nach Satz 23.2 liegen über diesen Primidealen im Kreisteilungskörper jeweils nur ein Primideal mit dem Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{p^{4}}$.

Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt (also nicht unzerlegt) ist. Für das folgende Beispiel siehe auch Korollar 22.9.

Beispiel

Es seien  ${}a,b\in \mathbb {Z}$  verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

${}\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${}4$ und sei

${}T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,$

der Ganzheitsring von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen ${}T$ und ${}S$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl ${}p$. Der beschreibende Ring ist

${}T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/\left(X^{2}-a,Y^{2}-b\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/\left(X^{2}-a,Y^{2}-b\right)\,.$

Wir beschränken uns auf Primzahlen ${}\geq 3$, die weder ${}a$ noch ${}b$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind. Wenn ${}a$ (entsprechend für ${}b$) ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist, sagen wir

${}a=r^{2}=(-r)^{2}\,,$

so ist

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/\left(X^{2}-a,Y^{2}-b\right)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/\left((X-r)(X+r),Y^{2}-b\right)\\&=\left(\mathbb {Z} /(p)[Y]/\left(Y^{2}-b\right)\right)[X]/((X-r)(X+r))\\&=\left(\mathbb {Z} /(p)[Y]/\left(Y^{2}-b\right)\right)\times \left(\mathbb {Z} /(p)[Y]/\left(Y^{2}-b\right)\right),\,\end{aligned}}$

wobei die letzte Identifizierung durch ${}X\mapsto (r,-r)$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und ${}(p)$ zerfällt in ${}T$ und dann auch in ${}S$ in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl ${}a$ als auch ${}b$ Nichtquadrate in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind, so ist das Produkt ${}ab$ ein Quadrat, sagen wir  ${}ab=s^{2}=(-s)^{2}$.  Dann gelten, da ja ${}a$ eine Einheit ist, in ${}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ die Idealgleichheiten

${}{\begin{aligned}\left(X^{2}-a,Y^{2}-b\right)&=\left(X^{2}-a,aY^{2}-ab\right)\\&=\left(X^{2}-a,aY^{2}-s^{2}\right)\\&=\left(X^{2}-a,X^{2}Y^{2}-s^{2}\right)\\&=\left(X^{2}-a,(XY+s)(XY-s)\right)\end{aligned}}$

und damit ist

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/\left(X^{2}-a,Y^{2}-b\right)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY+s)(XY-s))\\&=\left(\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{2}-a\right)\right)[Y]/(XY+s)(XY-s)\\&=\left(\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{2}-a\right)\right)[Y]/\left(Y+{\frac {s}{X}}\right)\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)\\&=\left(\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{2}-a\right)\right)\times \left(\mathbb {Z} /(p)[X]/\left(X^{2}-a\right)\right),\,\end{aligned}}$

es liegt also wieder ein Produktring vor.

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