Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesung 21

Invariantenringe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und  ${}\mathbb {Z} \subseteq R$  der zugehörige Zahlbereich. Welche Besonderheiten gelten für ${}R$, wenn die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist, wenn also die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismen von ${}L$ mit dem Grad der Erweiterung übereinstimmt? Wir werden gleich sehen, dass die Körperautomorphismen auf ${}R$ Ringautomorphismen induzieren und dass daher die Galoisgruppe auch auf ${}R$ operiert. Dies bewirkt, dass es auf ${}R$ bzw. ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ Symmetrien gibt. Wir fixieren einige Sprechweisen. Unter der Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen versteht man einen Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow \operatorname {Aut} \,R$.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}=\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Dies ist eine Verallgemeinerung des aus der Galoistheorie bekannten Konzeptes eines Fixkörpers. Eine endliche Körpererweiterung ist nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genau dann galoissch, wenn der Fixkörper von ${}L$ unter der Operation der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ gleich ${}K$ ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K$ und sei  ${}K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$.

Dann operiert die Galoisgruppe  ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  auf ${}S$ mit Invariantenring ${}R$.

Beweis

Es sei  ${}\sigma \in G$  und  ${}f\in S$.  Es sei

${}0=f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\,$

eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R$. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\sigma \left(f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\right)\\&=\sigma (f)^{n}+\sigma \left(r_{n-1}\right)\sigma (f)^{n-1}+\cdots +\sigma \left(r_{2}\right)\sigma (f)^{2}+\sigma \left(r_{1}\right)\sigma (f)+\sigma (r_{0})\\&=\sigma (f)^{n}+r_{n-1}\sigma (f)^{n-1}+\cdots +r_{2}\sigma (f)^{2}+r_{1}\sigma (f)+r_{0}\end{aligned}}$

und somit erfüllt auch ${}\sigma (f)$ eine Ganzheitsgleichung über ${}R$, also  ${}\sigma (f)\in S$.  Deshalb lässt sich ${}\sigma$ zu einer Abbildung von ${}S$ nach ${}S$ einschränken.

Die Gleichheit  ${}S\cap K=R$  ist klar, da ${}R$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist

${}S^{G}\subseteq S\cap L^{G}=S\cap K=R\,,$

die umgekehrte Inklusion  ${}R\subseteq S^{G}$  ist klar.

$\Box$

Korollar

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine Galoiserweiterung und  ${}\mathbb {Z} \subseteq R$  die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche.

Dann operiert die Galoisgruppe ${}G$ auf ${}R$ mit Invariantenring  ${}R^{G}=\mathbb {Z}$. 

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 21.2.

$\Box$

Beispiel

Eine quadratische Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$  mit einer quadratfreien ganzen Zahl  ${}D\neq 0,1$  ist stets eine Galoiserweiterung, wobei die Galoisgruppe neben der Identität aus der Konjugation ${}{\sqrt {D}}\mapsto -{\sqrt {D}}$ besteht. Diese Konjugation wirkt nach Satz 21.2 oder direkt nach Aufgabe 9.5 und Aufgabe 9.7 auch auf dem zugehörigen quadratischen Zahlbereich, mit ${}\mathbb {Z}$ als Invariantenring.

Wir beschreiben nun generell Eigenschaften von Invariantenringen zu einer Operation einer endlichen Gruppe.

Proposition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Invariantenring ${}R^{G}$ ist ein Integritätsbereich.
2. Die Operation induziert eine Operation von ${}G$ auf dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ als Gruppe von Körperautomorphismen.
3. Es ist  ${}Q\left(R^{G}\right)\subseteq (Q(R))^{G}$. 
4. Es ist

   ${}R\cap (Q(R))^{G}=R^{G}\,.$

Beweis

(1) ist wegen  ${}R^{G}\subseteq R$  klar.
(2). Es sei  ${}K=Q(R)$  der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem  ${}\sigma \in G$  setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q\left(R^{G}\right)$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen  ${}f,g\in R^{G}$.  Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt  ${}Q\left(R^{G}\right)\subseteq (Q(R))^{G}$. 
(4). Die Inklusion  ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$  ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also  ${}f\in R$  ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

$\Box$

Bei einer endlichen Gruppe gilt in Proposition 21.5  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q\left(R^{G}\right)=(Q(R))^{G}\,.$

Beweis

Die Inklusion  ${}Q\left(R^{G}\right)\subseteq (Q(R))^{G}$  gilt nach Proposition 21.5  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit  ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$  gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe 21.7) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist  ${}{\frac {f}{g}}\in \left(R^{G}\right)$. 

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist  ${}R^{G}\subseteq R$  eine ganze Erweiterung.

Beweis

Zu  ${}f\in R$  betrachten wir das Produkt

${}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring ${}R^{G}$. Ferner ist ${}P$ normiert und es ist  ${}P(f)=0$  (da ja ${}X-fe_{G}=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert ${}P$ eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R^{G}$ und daher ist  ${}R^{G}\subseteq R$  ganz.

$\Box$

Invariantenring und Quotientenraum

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen und damit nach Proposition 5.1 auch auf  ${}X=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  als Gruppe von Homöomorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten ${}X/G$ und andererseits den Invariantenring ${}R^{G}$ und damit dessen Spektrum ${}\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$. Der topologische Quotient ist einfach der Bahnenraum versehen mit der Bildtopologie. Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass

${}X/G=\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)\,$

gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$

(die zur Inklusion  ${}R^{G}\subseteq R$  gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$

surjektiv und abgeschlossen.

Insbesondere trägt ${}\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$ die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 21.7 und aus Satz Anhang 5.3.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für  ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} \left(R\right)$  die Äquivalenz:  ${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$  genau dann, wenn es ein  ${}\sigma \in G$  mit  ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ mit den Fasern von ${}\iota ^{*}$ übereinstimmen.

Beweis

Wenn  ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  ist und  ${}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$,  so ist auch  ${}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$,  also ist

${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über  ${}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$  und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Korollar 21.8 gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein  ${}\sigma \in G$  mit  ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${}{\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ gehört. Aus  ${}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$  (für alle ${}\sigma \in G$) folgt  ${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$,  da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Lemma Anhang 5.5 nicht nulldimensional wäre. Nach Lemma 10.13 (Kommutative Algebra) ist dann auch

${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$

Es sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$, ${}f\notin T$. Die Menge ${}T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch  ${}f\sigma \notin T$.  Somit ist auch  ${}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$.  Andererseits ist aber  ${}g\in R^{G}$  und  ${}g\in {\mathfrak {q}}$,  also ergibt sich der Widerspruch  ${}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$. 

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist ${}\left(\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right),\iota ^{*}\right)$ der Quotient der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$.

Beweis

Die Abbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(R\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$

ist nach Korollar 21.8 surjektiv, sodass nach Lemma 21.9 die Punkte aus ${}\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$ den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ${}\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$ ein mengentheoretischer Quotient. Nach Korollar 21.8 trägt ${}\operatorname {Spek} \left(R^{G}\right)$ die Bildtopologie, sodass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.

$\Box$

Korollar

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq K$  eine Galoiserweiterung und  ${}\mathbb {Z} \subseteq R$  die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche. Es sei  ${}p\in \mathbb {Z}$  eine Primzahl und es seien  ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} \left(R\right)$  Primideale oberhalb von ${}(p)$.

Dann sind die lokalen Ringe ${}R_{\mathfrak {p}}$ und ${}R_{\mathfrak {q}}$ und die Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ und ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$ zueinander isomorph.

Beweis

Nach Korollar 21.3 ist  ${}R^{G}=\mathbb {Z}$.  Wenn ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ auf das gleiche Primideal in ${}\mathbb {Z}$ runterschneiden, so gibt es nach Lemma 21.9 einen Automorphismus

$\sigma \colon R\longrightarrow R$

mit  ${}\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$.  Dazu gehört ein Isomorphismus

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}}$

und ein Isomorphismus der Restekörper.

$\Box$

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