Kurs:Analysis/Teil I/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 7 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Bild} {} einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {.}
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Die \stichwort {Gaußklammer} {}
\mathl{\lfloor x \rfloor}{} zu einem Element
\mathl{x\in K}{} in einem archimedisch angeordneten Körper
\mathl{K}{.}
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung \maabb {f} {{\mathbb K} } {{\mathbb K} } {.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} einer Abbildung
\mathl{f:D \rightarrow {\mathbb K}}{} auf einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Die \stichwort {Lösung} {} zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
\mathdisp {y'= f(t,y)} { , }
wobei
\maabbeledisp {f} {U} {\R
} {(t,y)} {f(t,y)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
auf einer offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Leibnizkriterium für alternierende Reihen} {.}}{Das \stichwort {Additionstheorem} {} für den Sinus.}{Der \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} reelle Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Für die Zahl
\mathl{1000 000 \pi}{} soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${ \frac{ 1 }{ 1000 } }$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Zeige, dass es stetige Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {f(x)= x^4 -x^3+5x+2 \in {\mathbb C}[X]} { . }
Bestimme die $x$-Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an $f$ im Punkt $x=1$ mit dem Graphen von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3 -6x^2 +9x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x
} {,}
über
\mathl{[-1,0]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+1+3)}
{
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }
c) Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh^{ 2 } t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
a) Bestimme eine Lösung der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } }, \, y > 0, \, t> 0} { , }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des
\definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ y^2 } } \text{ mit } y(1)=1} { . }
}
{} {}