Kurs:Analysis/Teil I/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Ein
\stichwort {Berührpunkt} {}
einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die
\stichwort {Integralfunktion} {}
zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Der
\stichwort {Entwicklungssatz für Potenzreihen} {}
\zusatzklammer {die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden} {} {.}}{Die
\anfuehrung{\stichwort {Periodizitätseigenschaft} {}}{}
für Kosinus und Sinus bei Addition mit
\mathl{{ \frac{ \pi }{ 2 } }}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank}{} mit Hilfe einer Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die reellen
\definitionsverweis {Intervalle}{}{,}
die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 2x-5 }
}
{ <} { \betrag { 3x-4 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $z=a+b { \mathrm i}$ eine komplexe Zahl mit $b <0$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Quadratwurzel von $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine stetige Funktion und
\maabbdisp {g} {\N} {\Q
} {}
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
\mathl{f(g(n)),\, n \in \N}{,} konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\}
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $n \in \N_+$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( \zeta z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z)}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl $e$ übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{ \sqrt{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } }} { }
für
\mathl{x >2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (4+1)}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + (t^2-3) \cos t} { }
für
\mathl{t \in {]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.}
b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + ( t^2-3 ) \cos t \text{ mit } y(0)=7} { . }
}
{} {}