Kurs:Analysis/Teil I/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Ein
\stichwort {Häufungspunkt} {}
einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{.}
}{Die \stichwort {komplexe Exponentialfunktion} {.}
}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}
}{Die
\stichwort {gewöhnliche Differentialgleichung} {}
zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq \R^2}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{.}}{Der
\stichwort {Identitätssatz für Potenzreihen} {.}}{Die
\stichwort {Substitutionsregel} {}
zur Integration von stetigen Funktionen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 3 } } }{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige mittels vollständiger Induktion für
\mathl{n \geq 1}{} die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^k k
}
{ =} { \begin{cases} { \frac{ n }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ gerade} , \\ - { \frac{ n+1 }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Betrachte die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ (-1)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Anhang) treffen zu?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} {I} {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine bijektive differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Was ist an folgendem \anfuehrung{Beweis}{} für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f \circ f^{-1} \right) } (y)
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } { \left( f^{-1} \right) }' (y)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (y)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R_+
} {x} {f(x)
} {,}
eine differenzierbare Funktion mit
\mathl{f(0)=1}{} und mit
\mathl{f'(x)= \lambda f(x)}{} für alle
\mathl{x \in \R}{} und ein
\mathl{\lambda \in \R}{.} Zeige, dass $f$ die Funktionalgleichung
\mathdisp {f(x+y) = f(x) \cdot f(y)} { }
für alle
\mathl{x,y \in \R}{} erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathdisp {f(x) = x^2+x- { \frac{ 7 }{ 4 } }} { . }
Zu jedem Startwert
\mathl{x_0 \in \R}{} betrachten wir die reelle Folge
\mathdisp {x_n = f^n(x_0)} { , }
es gilt also die rekursive Beziehung
\mathl{x_{n +1} =f(x_{n})}{.} Zeige, dass die Folge für
\mathl{x_0 \in [-2,1]}{} einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen \maabb {f} {I} {\R } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin^{ 2 } \left( \cos x \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $\pi/2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{}
\zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion
\maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R
} {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t
} {,}
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mathdisp {y'=t^2y^3} { }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Anhang}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
und es sei
\mathl{x \in K}{.}
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}