Kurs:Analysis/Teil I/21/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 9 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} (oder \stichwort {totale} {}) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von komplexen Zahlen $a_k$.
}{Die \stichwort {Supremumsnorm} {} einer Funktion \maabbdisp {f} { T } {\R } {} auf einer Menge $T$.
}{Das
\stichwort {Treppenintegral} {}
zu einer Treppenfunktion
\maabbdisp {t} { I } {\R
} {}
auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n= b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}{Die
\stichwort {Zeitunabhängigkeit} {}
einer
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die Quotientenregel für konvergente Folgen.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{
Zu je zwei Punkten in der Produktmenge $\Q^2$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert. \aufzaehlungdrei{Man gebe zu zwei Punkten \mathkor {} {(a_1,a_2)} {und} {(b_1,b_2)} {} die Koordinaten des Mittelpunktes an. }{Es seien in der Produktmenge $\Z^2$ fünf Punkte gegeben \zusatzklammer {jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten} {} {.} Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss. }{Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} und
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n }= \frac{1}{x}} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die Menge
\mathdisp {{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid 3 \leq
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 5 , \, 2 \leq \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 3 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+1+2+2+2)}
{
Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathbed {a_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die Familie der
\definitionsverweis {Realteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
und die Familie der
\definitionsverweis {Imaginärteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j \in J} a_j
}
{ =} { ( \sum_{ j \in J}
\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }) + { \mathrm i} ( \sum_{ j \in J} \operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { x^2+ax+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom vom Grad $2$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von
\mathkor {} {g} {und von} {h} {}
maximal zwei Schnittpunkte besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt $c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und \maabb {f} { I } { \R } {} eine nach unten beschränkte \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen \zusatzklammer {also das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{}} {} {} existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { yt -2t^4+t^3+2t^2-5t+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt eine polynomiale Lösung vom Grad $3$. Bestimme diese.
}
{} {}