Kurs:Analysis/Teil I/24/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 10 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {obere Schranke} {}
einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Realteil} {} einer komplexen Zahl $z$.
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Der \stichwort {Differenzenquotient} {} zu einer Funktion
\maabbdisp {f} { D } { {\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in D}{} einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Eine \stichwort {konvexe Teilmenge} {}
\mathl{T \subseteq \R^n}{.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} zu einer Funktion \maabb {f} {]a,b[} {\R } {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \leq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
obere Schranke
für $M$.
}{Zu einer komplexen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man $a$ den Realteil von $z$.
}{Der
\stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x
}
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zu
\mathbed {x \in D} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der Differenzenquotient von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}{Die Teilmenge $T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
\mathl{P,Q \in T}{} auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke
\zusatzklammer {also jeder Punkt der Form
$rP+(1-r)Q \mbox{ mit } r \in [0,1]$} {} {}
ebenfalls zu $T$ gehört.
}{Eine Funktion
\maabb {F} {{]a,b[}} {\R
} {}
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und
\mathl{F'(x)=f(x)}{} für alle
\mathl{x \in {]a,b[}}{} gilt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.}{Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die Intervalle
\mathbed {I_n=[a_n,b_n]} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,}
mit den Grenzen
\mathdisp {a_n= { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n \text{ und } b_n = { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^{n+1}} { }
definieren eine Intervallschachtelung.}{Eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.}{Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { f(c)(b-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 \zusatzklammer {erster Ferientag} {} {} und endeten am 6.1.2016 \zusatzklammer {letzter Ferientag} {} {.} Wie lange dauerten die Ferien?
}
{
$16$ Tage.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei { $A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } { $A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{
\aufzaehlungzwei {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 17 \cdot 365} { }
bzw.
\mathdisp {70 \cdot 16 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 17
}
{ >} { 7 \cdot 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist $A$ länger wach.
} {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $A$ schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 16 \cdot 365} { }
bzw,
\mathdisp {70 \cdot 17 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 16
}
{ =} { 128
}
{ >} { 119
}
{ =} { 7 \cdot 17
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $A$ auch länger wach.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für positive reelle Zahlen $a,b$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ \leq} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass es reelle Zahlen $a,b$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,a+b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \betrag { a+b } } }
}
{ >} { {\max { \left( { \frac{ 1 }{ \betrag { a } } } , { \frac{ 1 }{ \betrag { b } } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Im positiven Fall ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit kann man überall die Betragsstriche weglassen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a+b } }
}
{ < }{ { \frac{ 1 }{ a } }
}
{ \leq }{ {\max { \left( { \frac{ 1 }{ a } } , { \frac{ 1 }{ b } } \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit steht links
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1 } }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und rechts das Maximum aus
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }} {,}
also ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{ K_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant gleich $1$, da ja $1$ das inverse Element zu $1$ ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert
\mathbed {x_0 \in K_+} {}
{x_0 \neq 1} {}
{} {} {} {,}
konvergiert die Folge nicht. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wechseln sich in der Folge $x_0$ und ${ \left( x_0 \right) }^{-1}$ ab, und bei positivem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind dies verschiedene Werte. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge $M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.
}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \R}{} eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei
\mathl{x_0 \in M}{} und $y_0$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist
\mathl{x \leq y_0}{} für alle
\mathl{x \in M}{.} Wir konstruieren zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {,}
wobei
\mathl{x_n \in M}{}
wachsend,
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} fallend ist und jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist
\zusatzklammer {sodass insbesondere
\mathl{x_n \leq y_n}{} für alle $n$ ist} {} {,}
und so, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
\mathdisp {x_{n+1} \defeq \begin{cases}
x_n,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
\text{ein beliebiger Punkt aus } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M \text{ sonst}\, . \end{cases}} { }
und
\mathdisp {y_{n+1} \defeq \begin{cases}
\frac{x_n+ y_n }{2} ,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
y_n \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
\mathdisp {y_n -x_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (y_0-x_0)} { , }
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach
Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen einen Grenzwert, sagen wir $x$. Ebenso ist die fallende Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert $x$. \teilbeweis {}{}{}
{ Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ > }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Da die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ \leq} {y_n
}
{ <} { z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist.}
{}\teilbeweis { Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleinergleich jeder oberen Schranke von $M$ ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ <} { x_n
}
{ \leq} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist.}
{\leerzeichen{}Also liegt wirklich das Supremum vor.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (T)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ P'
}
{ \defeq} { \zeilemitteil { P-TH
} {} }
{ =} { \zeilemitteil { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n }{b_k } b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n }{b_k } b_{0} \right) } X^{n-k}} {+ a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
{ } { \zeilemitteil {
} {} }
}
{}{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, ( T )
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+3b+9c
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4b-8c
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } b
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 8 } }-X + { \frac{ 7 }{ 8 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (3+1+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{b}
}
{ \geq} { \sqrt[n+1]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Aufgrund des strengen Wachstums des Potenzierens können wir die
\mathl{n(n+1)}{-}te Potenz der beiden Zahlen vergleichen. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sqrt[n]{b} \right) }^{n(n+1)}
}
{ =} { { \left( { \left( \sqrt[n]{b} \right) }^{n} \right) }^{ n+1}
}
{ =} { b^{ n+1 }
}
{ =} { b^n \cdot b
}
{ \geq} { b^n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { \left( \sqrt[n+1]{b} \right) }^{n+1} \right) }^{ n}
}
{ =} { { \left( \sqrt[n+1]{b} \right) }^{n(n+1)}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
ist dies richtig.
}{Dies ergibt sich aus dem strengen Wachstum des $n$-ten Wurzelziehens
\zusatzklammer {siehe
Satz 13.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {.}
}{Wenn die Folge nicht gegen $1$ konvergieren würde, so würde es, da die Folge streng fallend ist, ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{b}
}
{ \geq} { 1 + \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Das bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { (\sqrt[n]{b})^n
}
{ \geq} { (1 + \epsilon )^n
}
{ \geq} { 1 + n \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $b$ eine feste Zahl ist und $n$ beliebig groß wird, widerspricht das dem Archimedesprinzip in der Form
Lemma 4.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {]-1,1[ } {\R } { x } {f(x) = 1- \sqrt{1-x^2} } {.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{
\aufzaehlungzwei {Die erste Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ \sqrt{1-x^2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Die zweite Ableitung ist nach der Quotientenregel gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ x }{ \sqrt{1-x^2} } } \right) }'
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{1-x^2} - x { \frac{ -x }{ \sqrt{1-x^2} } } }{ 1-x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1-x^2 + x^2 }{ \sqrt{1-x^2}^3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2}^3 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{
Wir betrachten die Hilfsfunktion
\maabbeledisp {g} { [a,b] } {\R
} { x } {g(x) \defeq f(x)- { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } } (x-a)
} {.}
Diese Funktion ist ebenfalls
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und in
\mathl{]a,b[}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(b)
}
{ =} { f(b) -(f(b)-f(a))
}
{ =} { f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von
Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und somit gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} { { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(x,f(x))} {und} {(x+1,f(x+1))} {}
einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit
\mathl{s(x)}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1)
}
{ =} { s(x) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Skizziere die Situation.
}
{
Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f(x) }{ x-s(x) } }
}
{ =} { { \frac{ f(x+1) }{ x+1-s(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x+1)
}
{ =} { f(x) f(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x-s(x) } }
}
{ =} { { \frac{ f(1) }{ x+1-s(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1) (x-s(x))
}
{ =} { x+1-s(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(f(1)-1)
}
{ =} { 1 + s(x) (f(1)-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x)
}
{ =} { x - { \frac{ 1 }{ f(1)-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1)
}
{ =} { x +1 - { \frac{ 1 }{ f(1)-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1) -s(x)
}
{ =} { x +1 - { \frac{ 1 }{ f(1)-1 } } - { \left( x - { \frac{ 1 }{ f(1)-1 } } \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch den Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ \sqrt{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt
\mathl{(4,2)}{} eingeschlossen wird.
}
{
Eine Stammfunktion der Wurzelfunktion ist
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } } x^{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{.} Somit ist der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Wurzelfunktion, erstreckt von
\mathkor {} {0} {bis} {4} {,}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ 3 } } \int_{ 0 }^{ 4 } x^{ \frac{ 3 }{ 2 } } ( t) \, d t
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot 4^{ \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot 2^3
}
{ =} { { \frac{ 16 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Davon muss man den Flächeninhalt des durch die Gerade und die angegebenen Punkte abziehen, dieser ist $4$. Der gesuchte Flächeninhalt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 16 }{ 3 } } -4
}
{ =} { { \frac{ 16-12 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
}
{
Da $h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist $h$ bzw. $\frac{1}{h}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, sodass $H$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) \definitionsverweis {streng monoton}{}{} und daher nach Aufgabe 2.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) \definitionsverweis {injektiv}{}{} \zusatzklammer {also bijektiv auf sein Bild} {} {} ist.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ = }{ H^{-1}(G(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wie angegeben. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y'(t)
}
{ =} {\frac{G'(t)}{H' { \left( H^{-1}( G(t)) \right) } }
}
{ =} {\frac{g(t)}{ { \frac{ 1 }{ h } } { \left( H^{-1}(G(t)) \right) } }
}
{ =} { g(t) \cdot h { \left( H^{-1}( G(t)) \right) }
}
{ =} { g(t) \cdot h(y(t))
}
}
{}
{}{,}
sodass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun
\mathl{y(t)}{} eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{ t_1 }^{ t_2 } g(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ t_1 }^{ t_2 } \frac{y'(t)}{h(y(t)) } \, d t
}
{ =} { \int_{ y(t_1) }^{ y(t_2) } \frac{1}{h(z) } \, d z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die
Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ y(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen
\zusatzklammer {mit den unteren Integralgrenzen
\mathkork {} {t_1} {bzw.} {y(t_1)} {}} {} {}
bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(t)
}
{ = }{ H(y(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ = }{ H^{-1}(G(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}