Kurs:Analysis/Teil I/37/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 10 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.
}{Das
\stichwort {Supremum} {}
einer nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$.
}{Eine $n$-te \stichwort {komplexe Einheitswurzel} {} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {konvexe Funktion} {}
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit \stichwort {getrennten Variablen} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Folge in $M$ ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\N} {M
} { n } {x_n
} {.}
}{Eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
$T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \leq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
}{Die komplexen Nullstellen des
\definitionsverweis {Polynoms}{}{}
\mathdisp {X^n-1} { }
heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln.
}{Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
\maabbeledisp {f'} { \R } { \R
} { x } { f'(x)
} {,}
die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
}{Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der
\definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}{Eine Differentialgleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t) \cdot h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Funktionen
\zusatzklammer {dabei sind
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
reelle Intervalle} {} {}
\maabbeledisp {g} { I } {\R
} { t } {g(t)
} {,}
und
\maabbeledisp {h} { J } {\R
} { y } {h(y)
} {,}
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Das \stichwort {Weierstraß-Kriterium} {} für Funktionenfolgen.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Differentialrechnung} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}{Es sei $T$ eine Menge und sei
\maabbdisp {g_k} { T } { {\mathbb K}
} {}
eine Funktionenfolge mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k } \Vert
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} gleichmäßig
und punktweise absolut gegen eine Funktion
\maabbdisp {f} { T } { {\mathbb K}
} {.}}{Es sei
\mathl{a<b}{} und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in {]a,b[}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Kein Mensch ist illegal}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} { L } { M
} {}
und
\maabb {G} { M } { N
} {}
\definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(F(x))
}
{ =} { G(F(x'))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund der Injektivität von $G$ folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { F(x')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aufgrund der Injektivität von $F$ folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { x'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was die Injektivität von
\mathl{G \circ F}{} bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit
\zusatzklammer {16 Stunden pro Tag} {} {}
zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei
\mathl{2000}{} kcal und $100$ Gramm Heidelbeeren enthalten $42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt $1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
}
{
Heidi muss pro Tag
\mathl{2000:42 \sim 47,6}{} mal
\mathl{100}{} Gramm Heidelbeeren essen, also
\mathl{4,76}{} Kilogramm. Wegen
\mathl{4760:1,5 \sim 3173}{} sind das
\mathl{3173}{} Heidelbeeren pro Tag. Die $16$ Stunden haben
\mathl{16 \cdot 3600 = 57600}{} Sekunden. Es ist
\mathl{57600:3173 \sim 18,15}{.} Sie muss also alle $18,15$ Sekunden eine Heidelbeere essen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 2x-3 }
}
{ \geq} { \betrag { 5x-7 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen
\mathkor {} {\betrag { 2x-3 }} {und} {\betrag { 5x-7 }} {.}
}
{
Entscheidend sind die beiden Grenzen
\mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 2 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 5 } }} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 5 } }
}
{ <} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 7 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-(2x-3)
}
{ \geq} { -(5x-7)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x-3
}
{ \leq} { 5x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4
}
{ \leq} { 3x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Intervall
\mathl{[ { \frac{ 4 }{ 3 } } , { \frac{ 7 }{ 5 } } ]}{} gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 5 } }
}
{ \leq} { x
}
{ \leq} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-(2x-3)
}
{ \geq} { 5x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x+3
}
{ \geq} { 5x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10
}
{ \geq} { 7x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 10 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 5 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 10 }{ 7 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit gehört das Intervall
\mathl{[ { \frac{ 7 }{ 5 } } , { \frac{ 10 }{ 7 } } ]}{} zur Lösungsmenge. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x-3
}
{ \geq} { 5x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall
\mathdisp {[ { \frac{ 4 }{ 3 } } , { \frac{ 10 }{ 7 } } ]} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0 }\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass die reelle Zahl
\mathl{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^4-20X^ 2+16}{} ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{7} \right) }^2
}
{ =} { \sqrt{3}^2+ \sqrt{7}^2 +2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}
}
{ =} { 3+7+ 2 \sqrt{21}
}
{ =} { 10 + 2 \sqrt{21}
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^4
}
{ =} { { \left( X^2 \right) }^2
}
{ =} { { \left( 10 + 2 \sqrt{21} \right) }^2
}
{ =} { 100 +4 \cdot 21 +40 \sqrt{21}
}
{ =} { 184 + 40 \sqrt{21}
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^4-20X^ 2+16
}
{ =} { 184 + 40 \sqrt{21} -20 { \left( 10 + 2 \sqrt{21} \right) } +16
}
{ =} { 184- 200 +16 + { \left( 40 - 20 \cdot 2 \right) } \sqrt{21}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10 (1+4+5)}
{
Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \sqrt{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_{\geq 0}$.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Wertetabelle für $f$ für die Stellen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0,1,4,9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme das Polynom
\mathl{p(x)}{} kleinsten Grades, das mit $f$ an den Stellen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0,1,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt.
}{Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu $f$ und zu $p$ und die Intervalle, für die $f$ oberhalb bzw. unterhalb von $p$ verläuft.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {0} {1} {4} {9} }
{ $\sqrt{x}$ }
{\mazeileundvier {0} {1} {2} {3} }
}{Wie wenden
Satz 11.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
an. Für das gesuchte Polynom $p$ soll
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p(1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p(4)
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad $\leq 2$, das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p(x)
}
{ =} { ax^2+bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wegen der ersten Bedingung sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{16a+4b
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{12a
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p(x)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 6 } } x^2 + { \frac{ 7 }{ 6 } } x
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 6 } } x (x-7)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wir vergleichen nun
\mathkor {} {\sqrt{x}} {und} {p(x)} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p(x)
}
{ \leq} { 0
}
{ \leq} { \sqrt{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wir vergleichen daher nur noch die Werte auf
\mathl{[0,7]}{,} wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also $x$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( - { \frac{ 1 }{ 6 } } x^2 + { \frac{ 7 }{ 6 } } x \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 36 } } x^4 - { \frac{ 7 }{ 18 } } x^3 + { \frac{ 49 }{ 36 } } x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es geht also darum, wo die Differenzfunktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 36 } } x^4 - { \frac{ 7 }{ 18 } } x^3 + { \frac{ 49 }{ 36 } } x^2 -x} { }
auf $[0,7]$ Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher $x$ aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 36 } } x^3 - { \frac{ 7 }{ 18 } } x^2 + { \frac{ 49 }{ 36 } } x -1} { }
bzw.
\mathdisp {x^3 - 14 x^2 + 49 x -36} { . }
Nach Konstruktion von $p$ wissen wir, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 - 14 x^2 + 49 x -36
}
{ =} { (x-1) (x-4) (x-9)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit stimmen
\mathkor {} {\sqrt{x}} {und} {p(x)} {}
genau an den Stellen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0,1,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
überein und auf
\mathl{[0,1]}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{x}
}
{ \geq} { p(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
auf
\mathl{[1,4]}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{x}
}
{ \leq} { p(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und auf
\mathl{[4, + \infty]}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{x}
}
{ \geq} { p(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir wenden das
Cauchy-Kriterium
an. Aufgrund der
\definitionsverweis {absoluten Konvergenz}{}{}
gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k } \, }
}
{ =} { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n a_k }
}
{ \leq} { \betrag { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k } \, }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was die
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{}
bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne die ersten vier Glieder des
\definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n } } \text{ und } \sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^3 } }} { . }
}
{
Nach der Definition des Cauchy-Produktes müssen in
\mathdisp {{ \left( 0 + 1+ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + \ldots \right) } \cdot { \left( 0 + 1+ { \frac{ 1 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 27 } } + { \frac{ 1 }{ 64 } } + \ldots \right) }} { }
zur Bestimmung von $c_k$ nur die Teilprodukte $a_ib_j$ aufaddiert werden, für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j
}
{ =} { k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_4
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } +{ \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 27 } }
}
{ =} { { \frac{ 144+ 27+16 }{ 432 } }
}
{ =} { { \frac{ 187 }{ 432 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}
}
{
Es seien
\maabb {f,g} { D } { K
} {}
Funktionen, die beide in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion
\mathl{f(x)g(x)}{} ist
\mathl{{ \frac{ f(x)g(x) -f(a)g(a) }{ x-a } }}{} und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich
\mathl{f'(a)g(a) +f(a)g'(a)}{} ist. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(x)g(x) -f(a)g(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ f(x)g(x) -f(x)g(a) +f(x)g(a) -f(a)g(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ f(x) (g(x) - g(a)) +g(a) (f(x) -f(a) ) }{ x-a } }
}
{ =} { f(x) { \frac{ g(x) - g(a) }{ x-a } } +g(a) { \frac{ f(x) -f(a) }{ x-a } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich
\mathkor {} {g'(a)} {bzw.} {f'(a)} {.}
Wegen der Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $a$ gleich $f(a)$. Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihe \zusatzklammer {Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {.}
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} { I } {\R
} {}
zwei $n$-mal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)^{(n)}
}
{ =} {\sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$. Sie ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trivial und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich einfach um
die Produktregel.
Es sei die Aussage für die $n$-te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und
Lemma 3.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (f \cdot g)^{(n+1)}
}
{ =} { { \left( (f \cdot g)^{(n)} \right) }'
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} \right) }'
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } { \left( f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} \right) }'
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } { \left( { \left( f^{(k)} \right) }' \cdot g^{(n-k)} + f^{(k)} \cdot { \left( g^{(n-k)} \right) }' \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } { \left( f^{(k+1)} \cdot g^{(n-k)} + f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)}
\right) }
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k+1)} \cdot g^{(n-k)} + \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)}
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n+1} \binom { n } { k-1 } f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)} + \sum_{k = 0}^{n} \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{n+1} { \left( \binom { n } { k-1 }+ \binom { n } { k } \right) } f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{k = 0}^{n+1} \binom { n+1 } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n+1-k)}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+1+3+1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} { x } { x^{-1}
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die erste Ableitung von $f$.
}{Berechne die zweite Ableitung von $f$.
}{Erstelle
\zusatzklammer {und beweise} {} {}
eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
}{Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { - x^{ - 2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \left( - x^{ - 2 } \right) }^\prime
}
{ =} { 2 x^{ - 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)}(x)
}
{ =} { (-1)^{n} n! x^{ -1-n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{(n+1)} (x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} (x) \right) }'
}
{ =} { { \left( (-1)^{n} n! x^{ -1-n } \right) }'
}
{ =} { (-1)^n n! (-1-n) x^{-1-n-1}
}
{ =} { (-1)^{n+1} n! (n+1) x^{-1-(n+1)}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+1} (n+1)! x^{-1-(n+1)}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
\mathdisp {1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + (x-1)^4} { . }
}{Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} { (-1)^{n} { \frac{ n! }{ n! } }
}
{ =} { (-1)^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, also ist die Taylorreihe gleich
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} (x-1)^n} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten die Parabelschar
\mathl{x^2+a}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welches $a$ schließt die zugehörige Parabel zusammen mit der $x$-Achse ein Gebiet ein, dessen Flächeninhalt gleich $1$ ist?
}
{
Damit es zu einem Einschluss kommt, muss $a$ negativ sein. Die Nullstellen von $x^2+a$ sind dann $\pm \sqrt{-a}$. Das bestimmte Integral ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{- \sqrt{-a} }^{ \sqrt{-a} } x^2+a dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 +ax \right) | _{ - \sqrt{-a} } ^{ \sqrt{-a} }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{-a}^3 + 2 a \sqrt{-a}
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } a \sqrt{-a} + 2 a \sqrt{-a}
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } } a \sqrt{-a}
}
}
{}
{}{.}
Damit dies gleich $-1$ wird, muss $a$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \sqrt{-a}
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{-a}^3
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( -a )^3
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { - \sqrt[3]{ { \frac{ 9 }{ 16 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Finde eine Lösung für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { 3y'-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { y'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und lösen zuerst die lineare inhomogene Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z'
}
{ =} { 3 z-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Lösung davon ist direkt die konstante Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } } t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Ausgangsgleichung.
}