Kurs:Analysis/Teil I/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Die
\stichwort {Potenzreihe} {}
in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}{Eine
\stichwort {obere Treppenfunktion} {}
zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {homogene lineare eindimensionale} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Der Satz über
\stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis
\mathl{3:10^{7}}{} wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums
\mathl{21}{} cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm $2$ Quadratzentimeter einnimmt.
\aufzaehlungzwei {Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
} {Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es seien die beiden Polynome
\mathdisp {P=X^2+3X-5 \text{ und } Q= X^2-4X+7} { }
gegeben.
a) Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
b) Berechne die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+3+1)}
{
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise, dass eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R } {} \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ \defeq} { { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die logistische Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y( 5-3y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}