Kurs:Analysis/Teil I/51/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 8 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 10 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{
0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von komplexen Zahlen $a_k$.
}{Die \stichwort {Stetigkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung $f:{\mathbb K} \rightarrow {\mathbb K}$.
}{Eine
\stichwort {untere Treppenfunktion} {}
zu einer Funktion
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: K \times K \longrightarrow K \text{ und } \cdot: K \times K \longrightarrow K} { }
und zwei verschiedene Elemente
\mathl{0,1 \in K}{} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Axiome der Addition
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a + b) + c = a + (b + c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a+b=b+a}{.}
}{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a+0= a}{.}
}{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} gibt es ein Element
\mathl{b \in K}{} mit
\mathl{a+b=0}{.}
}
}{Axiome der Multiplikation
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot b=b \cdot a}{.}
}{$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a \cdot 1= a}{.}
}{Existenz des Inversen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} mit
\mathl{a \neq 0}{} gibt es ein Element
\mathl{c \in K}{} mit
\mathl{a \cdot c=1}{.}
}
}{Distributivgesetz:
Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)}{.}
}
}{Die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i \in I$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i= j$.
}
}{Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Unter der Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} versteht man die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} der Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{\delta > 0}{} derart gibt, dass für alle $x$ mit
\mathl{\betrag { a-x } \leq \delta}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(a)-f(x) } \leq \epsilon}{} gilt.
}{Eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {s} { I } { \R
} {}
heißt eine untere Treppenfunktion zu $f$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s(x)
}
{ \leq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.}{Das \stichwort {Weierstraß-Kriterium} {} für Funktionenfolgen.}{Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ < }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $K$ gibt es eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ <} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $T$ eine Menge und sei
\maabbdisp {g_k} { T } { {\mathbb K}
} {}
eine Funktionenfolge mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k } \Vert
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} gleichmäßig
und punktweise absolut gegen eine Funktion
\maabbdisp {f} { T } { {\mathbb K}
} {.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und sei
\maabbdisp {f} { D } {\R
} {}
eine Funktion, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{
Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.
\mathdisp {(0,0),\, (7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
\aufzaehlungfuenf{Skizziere
\mathkor {} {P} {und} {K} {.}
}{Erstelle eine Gleichung für $K$.
}{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$.
}{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{ $\,$
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (y-1)^2+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +1+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +x^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}{Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^2$ durch $y$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { y^2-2y+y
}
{ =} { y^2-y
}
{ =} { y(y-1)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathkor {} {y=0} {oder} {y=1} {.}
Dies führt zu den drei Schnittpunkten
\mathl{(0,0),(1,1),(-1,1)}{.}
}{Die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2-2y
}
{ =} { -x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (y-1)^2
}
{ =} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 1 \pm \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion
\maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R
} { x } { 1 - \sqrt{1-x^2}
} {.}
}{Wir behaupten, dass die Parabel auf
\mathl{[-1,1]}{} oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} { 1 - \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1-x^2}
}
{ \geq} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^2
}
{ \geq} { { \left( 1-x^2 \right) }^2
}
{ =} { 1 +x^4-2x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4 -x^2
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 -1
}
{ \leq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was wegen
\mathl{x \in [-1,1]}{} erfüllt ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Es sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n\in \N}{.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { ux_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ y_n + { \frac{ d }{ y_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + { \frac{ u^2 c }{ u x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + u \cdot { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { u \cdot { \frac{ x_n + { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { u \cdot x_{n+1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge $M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.
}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \R}{} eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei
\mathl{x_0 \in M}{} und $y_0$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist
\mathl{x \leq y_0}{} für alle
\mathl{x \in M}{.} Wir konstruieren zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {,}
wobei
\mathl{x_n \in M}{}
wachsend,
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} fallend ist und jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist
\zusatzklammer {sodass insbesondere
\mathl{x_n \leq y_n}{} für alle $n$ ist} {} {,}
und so, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
\mathdisp {x_{n+1} \defeq \begin{cases}
x_n,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
\text{ein beliebiger Punkt aus } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M \text{ sonst}\, . \end{cases}} { }
und
\mathdisp {y_{n+1} \defeq \begin{cases}
\frac{x_n+ y_n }{2} ,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n }{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
y_n \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
\mathdisp {y_n -x_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (y_0-x_0)} { , }
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach
Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen einen Grenzwert, sagen wir $x$. Ebenso ist die fallende Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert $x$. \teilbeweis {}{}{}
{ Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ > }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Da die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ \leq} {y_n
}
{ <} { z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist.}
{}\teilbeweis { Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleinergleich jeder oberen Schranke von $M$ ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ <} { x_n
}
{ \leq} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist.}
{\leerzeichen{}Also liegt wirklich das Supremum vor.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Beweise die folgenden Aussagen zu
\definitionsverweis {Real}{}{-}
und
\definitionsverweis {Imaginärteil}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } +
\operatorname{Re} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{ Es seien im folgendem jeweils z = a + b·i, w = c + d·i mit a,b,c,d aus den komplexen Zahlen. Dann gilt:
1. z = a + bi = Re(z) + Im(z)*i.
2. Re(z + w) = Re(a + bi + c + di) = Re((a + c) + i(b + d)) = a + c = Re(a + bi) + Re(c + di) = Re(z) + Re(w).
3. Im(z + w) = Im(a + bi + c + di) = Im((a + c) + i(b + d)) = b + d = Im(a + bi) + Im(c + di) = Im(z) + Im(w).
4. Sei r aus den reellen Zahlen, dann gilt
Re(rz) = Re(r(a + bi)) = Re(ra + rbi) = ra = rRe(z) und
Im(rz) = Im(r(a + bi)) = Im(ra + rbi) = rb = rIm(z)
5. Seien A,B,C die drei Aussagen.
[A => B] Es gelte z = Re(z) => z = Re(a + bi) = a, also z ist reell.
[B => C] Es sei z reell. Dann gilt Im(z) = Im(z + 0·i) = 0.
[C => A] Es sei Im(z) = 0. Dann gilt b = 0 also z = a = Re(z).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von $P$ die Form
\mathbed {X^k} {}
{1 \leq k \leq n} {}
{} {} {} {,}
besitzen.
}
{
Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von $X^n$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über $n$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich $n$ ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { (X+a) \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
haben, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzwingt. Es sei nun $n$ beliebig und eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ =} { P \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in normierte Polynome $P,Q$ vorgegeben. Da $0$ eine Nullstelle links ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach
Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist $X$ ein Teiler von $P$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n
}
{ =} { ( \tilde{ P} X) \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{K[X]}{} nullteilerfrei ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^{n-1}
}
{ =} { \tilde{P} \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( -5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5} \right) } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^3 - { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^2 + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2}^3 +3 \sqrt{2}^2\sqrt{3}+3 \sqrt{2}\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^3 \right) } - { \left( \sqrt{2}^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2 \right) } + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 2 \sqrt{2} +6 \sqrt{3}+9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \right) } - { \left( 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+3 \right) } + 2+ \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 11 \sqrt{2} +9 \sqrt{3} \right) } - 3 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-55 \sqrt{2} -45 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 + \sqrt{5}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} { I } {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus
Korollar 13.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung
\maabbdisp {f} { I } { J
} {}
auf das Bild
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} { J } { I
} {}
ist ebenfalls streng wachsend.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \defeq }{ f^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \defeq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.
\fallunterscheidungzwei {Es sei zunächst $y$ kein
\definitionsverweis {Randpunkt}{}{}
von $J$. Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( y-f(x- \epsilon) , f(x + \epsilon)-y \right) } }
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ \in }{ [ y- \delta, y + \delta ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt wegen der Monotonie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(y')
}
{ \in} { [g(y-\delta), g(y+ \delta)]
}
{ \subseteq} { [x- \epsilon, x+ \epsilon]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $g$ stetig in $y$.}
{Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [x- \epsilon, x]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \defeq }{ y-f(x- \epsilon)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt die geforderte Eigenschaft.}
}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^3 -4 x^2
}
{ =} { \sqrt{42}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(5)
}
{ = }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ \sqrt{42}
}
{ \leq }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach
dem Zwischenwertsatz
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{\sqrt{42}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.
}
{
Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}7 \right)
}
{ \geq} { 1 + 0{,}7 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}7^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}7^3
}
{ =} { 1{,}7 + 0{,}245 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}343
}
{ >} { 1{,}945 + 0{,}057
}
{ =} { 2{,}002
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} { 2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}6 \right)
}
{ \leq} { 1 + 0{,}6 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}6^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } { \left( 0{,}6^3 +0{,}6^4 + \cdots \right) }
}
{ =} { 1{,}6 + 0{,}18 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}6^3 { \left( 1+ 0{,}6 +0{,}6^2 + \cdots \right) }
}
{ =} { 1{,}78 +{ \frac{ 1 }{ 6 } }\cdot 0{,}6^3 \cdot { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 3^3 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5^3 \cdot 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 9 }{ 100 } }
}
{ =} { 1{,}87
}
{ <} { 2
}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( 0{,}6 \right)
}
{ <} { 2
}
{ <} { \exp \left( 0{,}7 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} { \R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Bestimme die Ableitung der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \defeq} { { \frac{ f(f(x)) }{ f(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g'(x)
}
{ =} { { \frac{ ( f(f(x)))' \cdot f(x) - f(f(x)) \cdot f'(x) }{ f^2(x) } }
}
{ =} { { \frac{ f' (f(x)) \cdot f'(x) \cdot f(x) - f(f(x)) \cdot f'(x) }{ f^2(x) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} { [1,2] } { \R
} { t } {g(t) = { \frac{ 1 }{ t } }
} {.}
\aufzaehlungzwei {Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von $x$.
} {
Bestimme dasjenige $x$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {,}
für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Da $g$ streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von $g$ an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { { \left( x-1 \right) } { \frac{ 1 }{ x } } + { \left( 2-x \right) } { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { 2 - { \frac{ 1 }{ x } } - { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist genau dann gleich $0$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \sqrt{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt in diesem Punkt ein lokales isoliertes Maximum mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h( \sqrt{2})
}
{ =} { 2 - { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } -{ \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } }
}
{ =} { 2 - 2 { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ =} { 2 -\sqrt{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor, das auch global ist, da an den Grenzen der Wert ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Eine Kettenlinie
\zusatzklammer {eine durchhängende Kette} {} {}
wird durch die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { c \sqrt{1 +y'^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ > }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Finde die Lösung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(-1)
}
{ = }{ y(1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { y'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z'
}
{ =} { c \sqrt{1 +z^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erster Ordnung. Das ist eine \anfuehrung{zeitunabhängige}{} Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1+z^2 } } }}{} findet man
\zusatzklammer {siehe
Lemma 27.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {}
mit der Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sinh s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_a^b { \frac{ 1 }{ \sqrt{z^2+1} } } dz
}
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arsinh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arsinh} \, b \, } { \frac{ 1 }{ \cosh s } } \cosh s ds
}
{ =} { \int_{ \, \operatorname{arsinh} \, a \, }^{ \, \operatorname{arsinh} \, b \, } 1 ds
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine Stammfunktion ist also
\mathl{\, \operatorname{arsinh} \, z \,}{.} Die Lösungen der Differentialgleichung für $z$ sind also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z(x)
}
{ =} { c \sinh (x+\alpha )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind die Lösungen für die ursprüngliche Gleichung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y (x)
}
{ =} { \beta + c \cosh (x+\alpha )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Anfangsbedingung symmetrisch zur $y$-Achse ist, muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(1)
}
{ =} { \beta +c \cosh (1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ =} { - c \cosh (1)
}
{ =} { -c { \frac{ e^1 +e^{-1} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y (x)
}
{ =} { -c { \frac{ e^1 +e^{-1} }{ 2 } } + c \cosh x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung.
}