Kurs:Analysis/Teil I/55/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Potenzmenge} {} zu einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {rationale Zahl} {.}
}{Die \stichwort {bestimmte Divergenz} {} gegen $+ \infty$ einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Körper der reellen Zahlen} {.}
}{Die \stichwort {gleichmäßige Stetigkeit} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {T } { {\mathbb K}
} {}
auf einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Eine \stichwort {homogene lineare eindimensionale} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}{Die
\stichwort {Quotientenregel} {}
für differenzierbare Funktionen
\maabbdisp {f,g} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die
\stichwort {Jensensche Ungleichung} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit
\mathl{4 \times 6}{} Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} { L } { M
} {}
und
\maabb {G} { M } { N
} {}
\definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne
\mathdisp {(-1)^{73420504063658}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Karl trinkt eine Flasche Bier \zusatzklammer {$0{,}5$ Liter} {} {} mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat \zusatzklammer {diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert} {} {.} Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+4+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^3-X^2-5X+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$.
}{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$.
}{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \sin x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den großen Umordnungssatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } { x } { 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^x} {,} die Extrema.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ x^3+x }{ x^2-1 } }} { }
für $x > 1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { (2t-7) y +y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { y^{-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Differentialgleichung für $z$ bekommt.
}
{} {}