Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	1	0	0	0	0	2	4	0	0	0	10	28

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. /Definition/Begriff/Inhalt
2. /Definition/Begriff/Inhalt
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (3 Punkte)

Was sind geeignete Kriterien, ob eine mathematische Definition sinnvoll ist?

Lösung erstellen

Aufgabe (2 Punkte)

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?

Lösung erstellen

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme unter den vierstelligen natürlichen Zahlen, die man mit den Ziffern ${}3,4,5,6$ bilden kann, diejenige, die am nächsten an ${}5000$ ist.

Lösung

Die kleinste Zahl von diesen Zahen oberhalb von ${}5000$ ist ${}5346$, die größte Zahl von diesen Zahlen unterhalb von ${}5000$ ist ${}4653$, die zu ${}5000$ den Abstand ${}347$ besitzt. Also ist ${}5346$ der ${}5000$ am nächsten.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}^{2}&={\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\cdot {\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\\&=1+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{64}}x^{4}+x-{\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}\\&=1+x-{\frac {1}{8}}x^{3}+{\frac {1}{64}}x^{4}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}n$ verschiedene Zahlen  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$  und Zahlen  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$  gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}n$ gibt, das  ${}Q(a_{i})=b_{i}$  für alle ${}i$ erfüllt.

Lösung

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq n-1$ mit  ${}P(a_{i})=b_{i}$  für alle ${}i$. Wir betrachten das Polynom

${}R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.$

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$, das an den Stellen ${}a_{i}$ den Wert ${}0$ annimmt. Deshalb ist

${}Q:=P+R\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$ mit

${}Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,$

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien ${}Q$ und ${}Q'$ normierte Polynome vom Grad ${}n$ mit  ${}Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})$.  Dann besitzt ${}Q-Q'$ einen Grad ${}\leq n-1$, das an den ${}n$ Stellen den Wert ${}0$ besitzt. Deshalb ist es nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) das Nullpolynom und somit ist  ${}Q=Q'$. 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (10 (1+3+2+3+1) Punkte)

Wir wollen den (minimalen) Abstand des Graphen der Exponentialfunktion zum Graphen der Identität (also der Diagonalen) verstehen.

1. Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion und den Graphen der Identität (die Diagonale).
2. Bestimme zu einem gegebenen Punkt ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ den Punkt ${}\left(x,\,x\right)$ auf der Diagonalen mit dem minimalen Abstand zu ${}\left(y,\,e^{y}\right)$.
3. Wie lautet das Quadrat dieses Abstandes in Abhängigkeit von ${}y$?
4. Bestimme die Punkte ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$, in denen der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen angenommen wird.
5. Was ist der minimale Abstand?

Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist einfacher, mit dem Quadrat des Abstandes zu arbeiten. Der Abstand im Quadrat zwischen den Punkten ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$ ist

   ${}(x-y)^{2}+{\left(e^{y}-x\right)}^{2}=2x^{2}+y^{2}+e^{2y}-2xy-2xe^{y}=2x^{2}-x{\left(2y+2e^{y}\right)}+y^{2}+e^{2y}\,.$

   Dies ist ein quadratisches Polynom in ${}x$, dessen Koeffizienten von ${}y$ abhängen und dessen Leitkoeffizient positiv ist. Das Minimum dieses Ausdruckes bei vorgegebenem ${}y$ können wir durch ableiten nach ${}x$ bestimmen. Die Ableitung ist

   $4x-2y-2e^{y},$

   also liegt bei

   ${}x={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}\,$

   eine Nullstelle der Ableitung vor und dort wird das globale Minimum angenommen. Dort nimmt auch der Abstand das Minimum an, da die Quadratwurzel streng monoton ist.

3. Zur Bestimmung des Abstandquadrates müssen wir den Wert für ${}x$ in die Formel einsetzen, dies ergibt

   ${}{\begin{aligned}f(y)&={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}^{2}+y^{2}+e^{2y}-{\left(y+e^{y}\right)}y-{\left(y+e^{y}\right)}e^{y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}+ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}+y^{2}+e^{2y}-y^{2}-ye^{y}-ye^{y}-e^{2y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}-ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}.\end{aligned}}$

4. Wir müssen das Minimum der Funktion ${}f(y)$ bestimmen. Es ist

   ${}{\begin{aligned}f'(y)&=y-e^{y}-ye^{y}+e^{2y}\\&={\left(e^{y}-y\right)}{\left(e^{y}-1\right)}.\end{aligned}}$

   Wegen  ${}e^{y}>y$  besitzt diese Ableitung genau eine Nullstelle, nämlich für  ${}e^{y}=1$,  also bei  ${}y=0$.  Aus der Faktorzerlegung sieht man auch, dass ${}f$ ein isoliertes Minimum in  ${}y=0$  besitzt. Der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen wird also in ${}\left(0,\,1\right)$ und ${}\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)$ angenommen.
5. Der Abstand beträgt ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.