Kurs:Analysis/Teil I/7/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 10 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 8 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}

}{Ein \stichwort {archimedisch} {} angeordneter Körper $K$.

}{Der \stichwort {Grenzwert} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{} \zusatzklammer {dabei ist \mathlk{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge} {} {.}

}{Der \stichwort {Konvergenzradius} {} einer komplexen Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n} { . }

}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} im Entwicklungspunkt
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.}

}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quotientenkriterium} {} für eine komplexe Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}}{Der \stichwort {Satz über die stetige Fortsetzbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {} {T} {{\mathbb K} } {,} wobei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge ist.}{Die \stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Entscheide, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ n! }{ n^n } }} { }
konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei
\mathbed {a \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { a } < 1} {}
{} {} {} {.} Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( a z) }
{ = }{ f( z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelte. Zeige, dass $f$ konstant ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Beweise den großen Umordnungssatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {x} {f(x) = 2xe^{3x} } {.} Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x) }
{ =} { { \left( 3^n \cdot 2 x + 3^{n-1} \cdot 2 n \right) } e^{3x} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $r$ und ein
\mathl{s > r}{} gegeben. Für welches
\mathl{x \in \R}{} verläuft die Tangente zu $x$ an den oberen Kreisbogen durch den Punkt
\mathl{(s,0)}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (5+3)}
{

Wir betrachten die durch
\mathdisp {x_n = \sqrt[ n ]{n}} { }
definierte Folge (\mathlk{n \geq 1}{}). Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Für $n \geq 3$ ist die Folge monoton fallend. } {Die Folge konvergiert gegen \mathlk{1}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Der Graph der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { -x^2+5x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x) }
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.} Zeige, dass dann $F$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x) }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} mit
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=0} { }
für jede stetige Funktion \maabb {g} {[a,b]} {\R_{\geq 0} } {.} Zeige $f=0$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mathdisp {y' = { \frac{ t }{ t^2-1 } } y^2} { }
mit \mathkor {} {t>1} {und} {y<0} {.}

}
{} {}