Kurs:Analysis/Teil I/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 10 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {archimedisch} {} angeordneter Körper $K$.
}{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{}
\zusatzklammer {dabei ist \mathlk{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge} {} {.}
}{Der
\stichwort {Konvergenzradius} {}
einer komplexen Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n} { . }
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
im Entwicklungspunkt
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Quotientenkriterium} {}
für eine komplexe Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{.}}{Der
\stichwort {Satz über die stetige Fortsetzbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {} {T} {{\mathbb K}
} {,}
wobei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge ist.}{Die
\stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Entscheide, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ n! }{ n^n } }} { }
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Sei
\mathbed {a \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { a } < 1} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( a z)
}
{ = }{ f( z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den großen Umordnungssatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {x} {f(x) = 2xe^{3x}
} {.}
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} { { \left( 3^n \cdot 2 x + 3^{n-1} \cdot 2 n \right) } e^{3x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Radius $r$ und ein
\mathl{s > r}{} gegeben. Für welches
\mathl{x \in \R}{} verläuft die Tangente zu $x$ an den oberen Kreisbogen durch den Punkt
\mathl{(s,0)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (5+3)}
{
Wir betrachten die durch
\mathdisp {x_n = \sqrt[ n ]{n}} { }
definierte Folge (\mathlk{n \geq 1}{}). Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Für $n \geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
} {Die Folge konvergiert gegen \mathlk{1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Der Graph der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { -x^2+5x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{a \in I}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{.}
Zeige, dass dann $F$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
mit
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=0} { }
für jede stetige Funktion
\maabb {g} {[a,b]} {\R_{\geq 0}
} {.}
Zeige $f=0$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mathdisp {y' = { \frac{ t }{ t^2-1 } } y^2} { }
mit
\mathkor {} {t>1} {und} {y<0} {.}
}
{} {}