Kurs:Analysis/Teil I/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Urbild} {} zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{} unter einer Abbildung
\maabb {F} {L} {M} {.}
}{Eine
\stichwort {wachsende} {}
Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper.
}{Eine
\stichwort {stetige Fortsetzung} {}
einer stetigen Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
auf eine Teilmenge
\mathbed {\tilde{ T }} {}
{T \subseteq \tilde{ T }\subseteq {\mathbb K}} {}
{} {} {} {.}
}{Die \stichwort {Exponentialfunktion zur Basis} {} $b>0$ im Komplexen.
}{Eine \stichwort {konkave} {} Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$.
}{Eine
\stichwort {ortsunabhängige} {}
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die
\stichwort {Taylor-Formel} {}
für eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$ für einen inneren Punkt
\mathl{a \in I}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahl
\mathdisp {6^{n+2} + 7^{2n+1}} { }
ein Vielfaches von $43$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } }{} eine Cauchy-Folge in
\mathl{\Q}{,} die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass entweder alle
\mathl{x_n}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
positiv oder negativ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei eine Reihe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^\infty a_i 10^{-i}} { }
mit
\mathl{a_i \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{\betrag { a_i } \leq 9^i}{} für alle
\mathl{i \in \N_+}{} gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathdisp {f(x) =ax^2 +bx +c, \, a \neq 0} { , }
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ e^x }{ x^2+1 } } } {,} streng wachsend ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z+w)
}
{ =} { f(z) \cdot f(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} erfülle und die in
\mathl{0}{} differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ = }{ \lambda f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem festen
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { e^{x_n}-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Entscheide, für welche
\mathl{x_0}{} die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathl{\sin^{ 3 } x}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
a) Es sei
\mathl{k \in \N_+}{} und es sei
\mathdisp {f(x) =R(x, \sqrt[k]{x})} { }
eine rationale Funktion in
\mathkor {} {x} {und in} {\sqrt[k]{x}} {.}
Man gebe direkt
\zusatzklammer {ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung} {} {} eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu
\mathl{f(x)}{} auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.
b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
\zusatzklammer {mit
\mathl{x>1}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ \sqrt[3]{x} + x }{ (\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
}
{} {}