Kurs:Analysis/Teil I/Test 4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 65 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Die \stichwort {Stetigkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung $f:{\mathbb K} \rightarrow {\mathbb K}$.
}{Die \stichwort {gleichmäßige Stetigkeit} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {T } { {\mathbb K}
} {}
auf einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Das \stichwort {Cauchy-Produkt} {} von zwei komplexen Reihen.
}{Die \stichwort {Exponentialreihe} {} zu einer komplexen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Supremumsnorm} {} einer Funktion \maabbdisp {f} { T } {\R } {} auf einer Menge $T$.
}{Der \stichwort {natürliche Logarithmus} {} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.} }
}
{
\aufzaehlungacht{Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{\delta > 0}{} derart gibt, dass für alle $x$ mit
\mathl{\betrag { a-x } \leq \delta}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(a)-f(x) } \leq \epsilon}{} gilt.
}{Die Funktion $f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem
\mathl{\epsilon > 0}{} ein
\mathl{\delta >0}{} gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle
\mathl{x,x' \in T}{} mit
\mathl{d { \left( x , x' \right) } \leq \delta}{} ist
\mathl{d { \left( f(x), f(x') \right) } \leq \epsilon}{.}
}{Zu zwei
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a _{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b _{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k = \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
}{Die Exponentialreihe in $z$ ist die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z ^{ n } }{n!}} { . }
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { f } \Vert
}
{ \defeq} { {\operatorname{sup} \, { \left( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Supremumsnorm von $f$.
}{Der natürliche Logarithmus
\maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R
} { x } { \ln x
} {,}
ist als die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der
\definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{}
definiert.
}{Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
\maabbeledisp {f'} { \R } { \R
} { x } { f'(x)
} {,}
die jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet.
}{Es sei $s$ die
eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {reelle}{}{}
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
der
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \defeq} { 2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Kettenregel} {} für differenzierbare Abbildungen.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Differentialrechnung} {.}}
}
{
\aufzaehlungvier{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)= y}{.}}{Seien
\mathkor {} {D} {und} {E} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in ${\mathbb K}$ und seien
\maabbdisp {f} { D } { {\mathbb K}
} {}
und
\maabbdisp {g} { E } { {\mathbb K}
} {}
Funktionen mit
\mathl{f(D) \subseteq E}{.} Es sei $f$ in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und $g$ sei in
\mathl{b=f(a)}{} differenzierbar. Dann ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {g \circ f} { D } { {\mathbb K}
} {}
in $a$ differenzierbar mit der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathdisp {( g \circ f)' (a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)} { . }
}{Es sei
\mathl{a<b}{} und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in {]a,b[}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
}
{
a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) }
}
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x))
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x)
}
}
{}
{}{,}
was die Aussage beweist.
b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen, denn aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { u }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(u) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Wir zeigen, dass man für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ \betrag { { \frac{ x }{ 2 } } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ {\min { \left( \delta , \epsilon \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Im ersten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(u) }
}
{ =} { \betrag { x }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(q) }
}
{ =} { \betrag { q }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass in beiden Fällen die $\delta$-Umgebung von $x$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ abgebildet wird.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^4 -2 x^3
}
{ =} { - \sqrt{42}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{x<0}{} und
\mathl{x >2}{} ist
\mathl{f(x)=x^3 (x-2) >0}{,} es kann also allenfalls in
\mathl{[0,2]}{} eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion $f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 4x^3 -6 x^2
}
{ =} { 2x^2 (2x-3)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
An den beiden Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 2 } }} {}
sind die Werte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } -2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {- { \frac{ 27 }{ 16 } }
}
{ >} { -2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { - \sqrt{42}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Also ist das Minimum von $f$ größer als
\mathl{- \sqrt{42}}{} und es gibt keine Lösung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} { [a,b] } {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{ g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ \defeq} {f(x) -g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion ist nach
Lemma 12.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
wieder stetig und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(a)
}
{ =} { f(a) -g(a)
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(b)
}
{ =} { f(b) - g(b)
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(c)
}
{ =} { 0
}
{ =} { f(c) -g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ =} { g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion \maabbdisp {f} { [a,b] } {\R } {.}
}
{
Nach dem Zwischenwertsatz
wissen wir, dass das Bild
\mathl{J \defeq f([a,b])}{} ein Intervall ist.
Wir zeigen zunächst, dass $J$
\zusatzklammer {nach oben und nach unten} {} {}
beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $I$ mit
\mathl{f(x_n) \geq n}{.}
Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
besitzt
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Teilfolge. Da
\mathl{[a,b]}{} abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu
\mathl{[a,b]}{.} Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie
nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.
Es sei nun $y$ das Supremum von $J$. Es gibt eine Folge
\mathl{{ \left( y _n \right) }_{n \in \N }}{} in $J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mathl{f(x_n)=y_n}{.} Für diese Folge gibt es
wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit
\mathl{f(x)=y}{} und daher
\mathl{y \in J}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{
Die geometrische Reihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty x^n}{} und die Exponentialreihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty { \frac{ 1 }{ n! } } x^n}{.} Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen
\mathl{x^5,x^6,}{} etc. ignoriert werden und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{
}
{ \,} { (1+x+x^2+x^3+x^4) { \left( 1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } }x^4 \right) }
}
{ =} { { \left( 1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4 \right) }
+ { \left( x + x^2+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^4 \right) } + { \left( x^2 + x^3+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^4 \right) } + x^3+x^4 +x^4 + \ldots
}
{ =} { 1 +2x + { \frac{ 5 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 8 }{ 3 } } x^3 + { \frac{ 65 }{ 24 } } x^4 + \ldots
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
\mathdisp {1 +2x + \frac{ 5 }{ 2 } x^2 + \frac{ 8 }{ 3 } x^3 + \frac{ 65 }{ 24 } x^4} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }'
}
{ =} { 2 f \cdot f'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( fg \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2 - (f-g)^2 \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( 2 (f+g) (f+g)' - 2 (f-g) (f-g)' \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( (f+g) (f'+g') - (f-g) (f'-g') \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( ff'+fg'+gf'+gg'-ff'+fg'+gf'-gg' \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2gf'+2fg' \right) }
}
{ =} { gf'+fg'
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } { x } {f(x) = { \frac{ \ln { \left( 2x^2 \right) } }{ 7^x } } } {.}
}
{
Wir verwenden die Darstellung
\mathl{7^x= e^{ x \ln (7) }}{.}
Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f' (x)
}
{ =} { { \left( { \frac{ \ln (2x^2) }{ e^{ x \ln (7) } } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ e^{ x \ln (7) } { \frac{ 1 }{ 2x^2 } } 4x - \ln (2x^2) \ln (7) e^{ x \ln (7) } }{ { \left( e^{x \ln (7) } \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 x^{-1} - \ln (2x^2) \ln (7) }{ e^{ x \ln (7) } } }
}
{ =} { { \frac{ 2 - x \ln (2x^2) \ln (7) }{ x 7^x } }
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvierabc{Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von
\mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
}{Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der
Kettenregel.
}
}
{
a) Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 2x x-(x^2-1) }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g'(y)
}
{ =} { { \frac{ 2y (y-1) -y^2 }{ (y-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ y^2 -2y }{ y^2 -2y +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g(f(x))
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 }{ { \frac{ x^2-1 }{ x } } -1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) } ^2 }{ x( x^2-1) -x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
c) Die Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( 4x^3-4x \right) } { \left( x^3-x^2 -x \right) } - { \left( x^4 -2x^2 + 1 \right) } { \left( 3 x^2-2x -1 \right) } }{ { \left( x^3-x^2 -x \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4x^6 -4x^5 -4x^4 -4x^4 +4x^3 +4x^2 - { \left( 3x^6-2x^5 -x^4 -6x^4+4x^3 +2x^2 + 3 x^2-2x -1 \right) } }{ x^2 { \left( x^2-x -1 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^2 { \left( x^4 +x^2 +1 -2 x^3 -2x^2 +2x \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
}
{}
{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g'(f(x)) f'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } }{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x }{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x }{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2 x^3 -2x^2 +2 x +1 }{ x^4 -2x^3 - x^2 +2x +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 -x^4 -x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Wir betrachten eine Funktion
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { g(x) \sin x + h(x) \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 0}{}} {} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} {\begin{cases} (-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ gerade}, \\ (-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( ng'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ ungerade}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zum Induktionsanfang betrachten wir
\mathl{n=0}{,} es geht also um die Funktion selbst. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { g(x) \sin x +h(x) \cos x
}
{ =} { (-1)^0 { \left( { \left( g(x) +0 h'(x) \right) } \sin x + { \left( -0 g'(x) + h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Formel für
\mathl{n=0}{} gerade richtig.
Wir beweisen nun nun die Formel für $n+1$ unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Es sei zunächst $n+1$ ungerade, also $n$ gerade. Dann ist
\zusatzklammer {unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von $g$ und $h$ gleich $0$ sind} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x)
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }'
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( g'(x) \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x + h'(x) \cos x- { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \sin x \right) }
}
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g'(x) +n g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x)+ h'(x) \right) } \cos x \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{ ((n+1)-1)/2} { \left( { \left( (n+1) g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+(n+1) h'(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass der Ausdruck für $n+1$ ungerade vorliegt.
Bei $n+1$ gerade, also $n$ ungerade, ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x)
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( n g'(x) - h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) }'
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( -h'(x) \sin x + { \left( ng'(x) - h(x) \right) } \cos x + g'(x) \cos x- { \left( g(x)+ nh'(x) \right) } \sin x \right) }
}
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( -g(x) -(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( (n+1) g'(x)- h(x) \right) } \cos x \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} (-1) { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ =} {(-1)^{(n+1)/2} { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass der Ausdruck für $n+1$ gerade vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x+ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
streng wachsend ist.
}
{
Die Ableitung von $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 1+ \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \cos x
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form
\mathl{\pi + n 2 \pi}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
den Wert $-1$ besitzt, besitzt $f'$ nur dort eine Nullstelle. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2) \zusatzklammer {angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall} {} {} ist die Funktion streng wachsend.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{} eine \definitionsverweis {konkave Funktion}{}{} ist.
}
{
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $1/x$, das ist auf dem Definitionsbereich $\R_+$ des Logarithmus eine fallende Funktion, also ist nach Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Logarithmus \definitionsverweis {konkav}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{
Die erste Ableitung ist
\mathdisp {f'(x)= - \frac{1}{x^2} =- x^{-2}, \text{ also } f'(2)= - \frac{1}{4}} { . }
Die zweite Ableitung
ist
\mathdisp {f^{\prime \prime} (x)= 2 x^{-3} , \text{ also } f^{\prime \prime} (2)= \frac{1}{4}} { . }
Die dritte Ableitung ist
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime} (x)=-6 x^{-4} , \text{ also } f^{\prime \prime \prime} (2)= - \frac{3}{8}} { . }
Die vierte Ableitung ist
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime \prime} (x)=24 x^{-5} , \text{ also } f^{\prime \prime \prime
\prime} (2)=\frac{24}{32} = \frac{3}{4}} { . }
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ ist demnach
\mathdisp {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x-2) + \frac{1}{4 \cdot 2} (x-2)^2 - \frac{3}{8 \cdot 3!} (x-2)^3 + \frac{3}{4 \cdot 4!} (x-2)^4} { }
bzw.
\mathdisp {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x-2) + \frac{1}{8} (x-2)^2 - \frac{1}{16} (x-2)^3 + \frac{1}{32} (x-2)^4} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } { t } {f(t) = t^2e^{-t} } {.}
}
{
Die erste Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^\prime(t)
}
{ =} { { \left( 2t-t^2 \right) } e^{-t}
}
{ =} { t { \left( 2-t \right) } e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deren Nullstellen sind
\mathkor {} {0} {und} {2} {.}
Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(t)
}
{ =} { { \left( t^2 -4t+2 \right) } e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(0)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(2)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Daher liegt nach
Korollar 19.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
in
\mathl{0}{} ein
\zusatzklammer {isoliertes} {} {}
lokales Minimum mit dem Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in $2$ ein \zusatzklammer {isoliertes} {} {}
lokales Maximum mit dem Wert
\mathl{4 \cdot e^{-2}}{} vor. Da für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowohl $t^2$ als auch $e^{-t}$ positiv sind, liegt in $0$ auch das globale Minimum vor. Für
\mathl{t \rightarrow - \infty}{} wächst die Funktion hingegen gegen
\mathl{+ \infty}{,} sodass in $2$ kein globales Maximum vorliegt.
}