Kurs:Analysis/Teil II/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 9 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 9 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Skalarprodukt} {} auf einem reellen Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {polynomiale} {} Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n} { {\mathbb K} } {.}
}{Eine \stichwort {stark kontrahierende} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem} {.}
}{Der
\stichwort {Gradient} {}
einer total differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in V}{} eines euklidischen Vektorraumes.
}{Die Eigenschaft eines Vektorfeldes \maabbdisp {f} {I \times \R^n} { \R^n } {,} \stichwort {lokal} {} einer Lipschitz-Bedingung zu genügen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Abschätzung von Cauchy-Schwarz} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Ungleichung von Cauchy-Schwarz} {}} {} {.}}{Der \stichwort {Satz über implizite Abbildungen} {.}}{Der \stichwort {Satz über Gradientenfelder} {} auf einer sternförmigen Menge.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^2-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine offene
\definitionsverweis {zusammenhängende Teilmenge}{}{.}
Zeige, dass $U$ auch
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.
\matabelledreizehn {\leitzeileunddrei {Jahr} {Gastgeber} {Weltmeister} } {\madoppelzeileunddrei {1978} {\text{Argentinien}} {\text{Argentinien}} {1982} {\text{Spanien}} {\text{Italien}} }
{\madoppelzeileunddrei {1986} {\text{Mexiko}} {\text{Argentinien}} {1990} {\text{Italien}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1994} {\text{USA}} {\text{Brasilien}} {2002} {\text{Japan und Korea}} {\text{Brasilien}} }
{\madoppelzeileunddrei {2006} {\text{Deutschland}} {\text{Italien}} {2010} {\text{Südafrika}} {\text{Spanien}} }
{\mazeileunddrei {2014} {\text{Brasilien}} {\text{Deutschland} } }
Es sei $L=\{A,B,D,I,JuK,M,S,SA, U \}$ die Menge der Gastgeberländer und
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+5)}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq \R^n}{} eine nichtleere Teilmenge,
\mathl{n \geq 1}{.}
a) $T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
der durch
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^3
} {t} {(\cos t,\sin t,t)
} {,}
gegebenen
\betonung{Schraubenlinie}{} für $t$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {b} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}'
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {v} {\R} {\R^3
} {}
eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen
\mathl{f(x,y,z)=z}{} und
\mathl{g(x,y,z)= 4xz+y^2}{} auf
\zusatzklammer {dem Bild} {} {}
der Lösung konstant sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Vektor und
\maabbdisp {F} {\R \times V} {V
} {}
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(t,v)
}
{ =} {F(t,v+u)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {V
} {}
eine Lösung zur Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {F(t,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(t)
}
{ \defeq} { \varphi (t) +u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen
\mathkor {} {\varphi:V \rightarrow W} {und} {\psi:W \rightarrow U} {,}
wobei
\mathl{V,W,U}{} endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+5)}
{
Es sei \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { f(x,y) = x^2+ 3xy-y^3 } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von $f$. } {Bestimme für jeden kritischen Punkt $P$ von $f$ und jede Gerade durch $P$, ob $f$ längs dieser Geraden in $P$ lokale Extrema besitzt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {3x-7y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der Ellipse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f} {[-10,10]} { \R } {x} {x^2 } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Wir betrachten das Vektorfeld
\maabbdisp {G} {\R^2} {\R^2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(x,y)
}
{ =} {(y, - x^3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige auf zweifache Weise, dass $G$ kein Gradientenfeld ist.
\aufzaehlungzwei {Mit der Integrabilitätsbedingung.
} {Mit Wegintegralen.
}
}
{} {}