Kurs:Analysis/Teil II/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 9 }
\renewcommand{\aelf}{ 12 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 63 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {offene Kugel} {}
mit Mittelpunkt
\mathl{x \in M}{} und Radius $r \in \R_+$ in einem metrischen Raum $M$.
}{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
in $a \in M$, wobei
\mathl{L,M}{} metrische Räume sind,
\mathl{T \subseteq M}{} eine Teilmenge und
\mathl{a \in M}{} ein Berührpunkt von $T$ ist.
}{Ein \stichwort {Zentralfeld} {} \maabbdisp {F} {\R \times V} {V } {} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Hesse-Matrix} {} zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} in einem Punkt $P\in\R^n$.
}{Den
\stichwort {Tangentialraum} {}
an die Faser einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
durch einen Punkt
\mathl{P \in V}{,} in dem das totale Differential surjektiv ist.
}{Die Eigenschaft eines Vektorfeldes \maabbdisp {f} {I \times \R^n} { \R^n } {,} \stichwort {lokal} {} einer Lipschitz-Bedingung zu genügen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.}{Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.}{Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {M } {} eine Abbildung.
a) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist, wenn die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
\mathl{\varphi {{|}}_G}{} auf jede
\zusatzklammer {affine} {} {}
Gerade
\mathl{G \subseteq \R^n}{} injektiv ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass $\varphi$ nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung
\mathl{\varphi {{|}}_G}{} auf jede Gerade
\mathl{G \subseteq \R^n}{} durch den Nullpunkt injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {[0,1] \subseteq \R } {,} die nicht \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{}
auf
\mathl{I \times \R^n}{}
\zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {}
mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
\definitionsverweis {Zentralfeld}{}{}
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer geeigneten Funktion
\maabbdisp {\varphi} {I} {\R
} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^6} {\R^3 } { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 , \, { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 , \, { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 \right) } {,} die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+1+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x>y \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { { \left\{ (u,v) \in \R^2 \mid u^2 > 4v \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Skizziere
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {.}
b) Zeige, dass \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offen}{}{} sind.
c) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {(x,y)} { (x+y,xy) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (2+3+3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq} {1
}
{ \geq} {a
}
{ >} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fixiert und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f: [a,b] \rightarrow [a,b] \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {H} {M} {M } {f} {H(f) = \sqrt{f} } {,} wohldefiniert ist.
b) Es sei nun zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{ { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist
\zusatzklammer {wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei} {} {.}
c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.
d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12}
{
Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser $F$ zu $h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ < }{t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trifft. Zeige, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}}{} konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}