Kurs:Analysis/Teil II/11/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 9 }
\renewcommand{\aelf}{ 12 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 63 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {offene Kugel} {}
mit Mittelpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Radius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$.
}{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} { T } { L
} {}
in $a \in M$, wobei
\mathl{L,M}{} metrische Räume sind,
\mathl{T \subseteq M}{} eine Teilmenge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Berührpunkt von $T$ ist.
}{Ein \stichwort {Zentralfeld} {} \maabbdisp {F} {\R \times V} {V } {} auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Hesse-Matrix} {} zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R^n } {\R } {} in einem Punkt $P\in\R^n$.
}{Den
\stichwort {Tangentialraum} {}
an die Faser einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { W
} {}
zwischen endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
durch einen Punkt
\mathl{P \in V}{,} in dem das totale Differential surjektiv ist.
}{Die Eigenschaft eines Vektorfeldes \maabbdisp {f} {I \times \R^n } { \R^n } {,} \stichwort {lokal} {} einer Lipschitz-Bedingung zu genügen. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x ,r \right) }
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid d(x,y) < r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Das Element
\mathl{b \in L}{} heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{\delta >0}{} gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
\mathl{x \in T \cap U { \left( a ,\delta \right) }}{} ist
\mathl{f (x) \in U { \left( b ,\epsilon \right) }}{.}
}{Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$,
\mathl{I \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {g} {I \times U} {\R
} {(t,v)} {g(t,v)
} {}
eine Funktion. Dann heißt das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {F} {I \times U} {V
} {(t,v)} {F(t,v) = g(t,v) \cdot v
} {,}
ein
Zentralfeld.
}{Es seien $D_i$ die Richtungsableitungen in Richtung des $i$-ten Einheitsvektors. Zu
\mathl{P \in \R^n}{} heißt die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} D_1D_1 f ( P ) & \cdots & D_1D_{ n } f ( P ) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{ n } D_1 f ( P ) & \cdots & D_{ n }D_{ n } f ( P ) \end{pmatrix}} { }
die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
}{Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
\mathdisp {{ \left\{ v \in V \mid { \left( D\varphi \right) }_{ P } { \left( v \right) } = 0 \right\} }} { . }
}{Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt
\mathl{(t,v) \in I \times \R^n}{} eine offene Umgebung
\mathdisp {(t,v) \in I' \times U' \subseteq I \times \R^n} { }
derart gibt, dass das auf
\mathl{I' \times U'}{} eingeschränkte Vektorfeld einer
\definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{}
genügt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.}{Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.}{Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} { L } { M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{S \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{.}
Dann ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathdisp {f(S)} { }
zusammenhängend.}{Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {I \times U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
\mathdisp {y^{(n)} = h { \left( t,y ,y' ,y^{\prime \prime} , \ldots , y^{(n-1)} \right) }} { }
über die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ \defeq }{ y^{(i)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent zum
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_0 \\v_1 \\ \vdots\\v_{n-2}\\ v_{n-1} \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\ \vdots\\v_{n-1}\\ h(t, v_0,v_1 , \ldots , v_{n-1}) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mathl{U \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabbdisp {h} { U } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
und
\maabbeledisp {} { U } { V
} { P } { G(P) =
\operatorname{Grad} \, h ( P )
} {,}
das zugehörige
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { J } { U
} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung der Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {v' = G(v)} { . }
Dann steht
\mathl{\varphi'(t)}{}
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_{\varphi(t)} F}{} der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$F$ von $h$ durch
\mathl{\varphi(t)}{} für alle
\mathl{t \in J}{,} für die
\mathl{\varphi(t)}{}
\definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{}
von $h$ sind.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es seien \mathkor {} {P= \left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in \aufzaehlungvierabc{der euklidischen Metrik, }{der Summenmetrik, }{der Maximumsmetrik. }{Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach. }
}
{
Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind
\mathdisp {2- \frac{3}{4} = \frac{8-3}{4} =\frac{5}{4}} { }
und
\mathdisp {\frac{1}{5} - (-1) = \frac{1+5}{5} =\frac{6}{5}} { . }
a) Der euklidische Abstand ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{ { \left( \frac{5}{4} \right) }^2 + { \left( \frac{6}{5} \right) }^2 }
}
{ =} {\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{36}{25} } }
{ =} { \sqrt{ \frac{625 + 576 }{400} }
}
{ =} { \sqrt{ \frac{1201 }{400} } }
{ =} { \frac{\sqrt{1201} }{20} }
}
{}{}{.}
b) In der Summenmetrik ist der Abstand
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\frac{5}{4} +\frac{6}{5}
}
{ =} { \frac{25+24}{20} }
{ =} {\frac{49}{20}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\frac{5}{4} }
{ =} {\frac{25}{20}
}
{ >} { \frac{24}{20}
}
{ =} { \frac{6}{5}
}
{ } { }
}
{}{}{,}
daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich $\frac{5}{4}$.
d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner
$20$ und muss dann für die Zähler
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 }
{ <} { \sqrt{1201} }
{ <} { 49 }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{}
zeigen. Wegen $25^2 =625 < 1201$ und $49^2 >40^2=1600 >1201$ ist das klar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.
}
{
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {\varphi} {\R^n } { M } {} eine Abbildung.
a) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist, wenn die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
\mathl{\varphi {{|}}_G}{} auf jede
\zusatzklammer {affine} {} {}
Gerade
\mathl{G \subseteq \R^n}{} injektiv ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass $\varphi$ nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung
\mathl{\varphi {{|}}_G}{} auf jede Gerade
\mathl{G \subseteq \R^n}{} durch den Nullpunkt injektiv ist.
}
{
a) Es seien
\mathl{P,Q \in \R^n}{} verschieden. Es gibt eine Gerade $G$, auf der diese beiden Punkte liegen. Da
\mathl{\varphi {{|}}_G}{} injektiv ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ \neq} { \varphi(Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $\varphi$ injektiv.
b) Wir betrachten
\mathl{n=2}{} und
\mathl{M=\R}{} und die Funktion
\mathdisp {\varphi(x,y) = \begin{cases} x \, ,\text{ falls } x \neq 0 \, , \\ y \, , \text{ falls } x = 0 \, . \end{cases}} { }
Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch
\mathdisp {y=ax \text{ mit } a \in \R} { }
und durch die durch
\mathl{x=0}{} gegebene Gerade
\zusatzklammer {also die $y$-Achse} {} {}
gegeben. Auf den Geraden vom ersten Typ ist $x$ die Projektion auf die $x$-Achse und damit bijektiv und auf der $y$-Achse ist die Funktion $y$ die Identität. Die Einschränkung von $\varphi$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt ist also insbesondere injektiv. Dagegen ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(1,1)
}
{ =} { 1
}
{ =} {\varphi(1,2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Gesamtabbildung ist nicht injektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { [0,1] } { [0,1] \subseteq \R } {,} die nicht \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten die Funktion
\mathdisp {\varphi(x) = \begin{cases} x , \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 1-x ,\text{ falls } x \not\in \Q \, , \end{cases}} { }
die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass $\varphi$ nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu
\mathl{n \in \N}{} irrationale Zahlen
\mathbed {x_i} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathdisp {0 < x_1 < { \frac{ 1 }{ n } } < x_2 < { \frac{ 2 }{ n } } < x_3 < { \frac{ 3 }{ n } } < \cdots < { \frac{ n-2 }{ n } } < x_{n-1} < { \frac{ n-1 }{ n } } < x_n < 1} { . }
All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für
\mathl{n= 3k}{} ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(x_1) - { \frac{ 1 }{ n } } + \varphi(x_2) - { \frac{ 2 }{ n } } + \varphi(x_3) - { \frac{ 3 }{ n } } + \cdots + \varphi(x_{k-1}) - { \frac{ k-1 }{ n } } + \varphi(x_k) - { \frac{ k }{ n } }
}
{ \geq} { k { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja in diesem Bereich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x_i)
}
{ =} { 1-x_i
}
{ \geq} { { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Da $k$ beliebig groß gewählt werden kann, ist das Supremum über alle Streckenzuglängen unendlich und die Kurve ist nicht rektifizierbar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{}
auf
\mathl{I \times \R^n}{}
\zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {}
mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
\definitionsverweis {Zentralfeld}{}{}
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer geeigneten Funktion
\maabbdisp {\varphi} { I } {\R
} {}
besitzt.
}
{
Es sei ein Zeitpunkt
\mathl{t \in I}{} fixiert. Das Vektorfeld wird zu diesem Zeitpunkt durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ \defeq} { M(t)
}
{ =} { ( a_{ij} (t) )_{i,j}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Da es sich um ein Zentralfeld handelt, ist für jeden Vektor
\mathl{v \in \R^n}{} der Vektor
\mathl{M(t)v}{}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
zu $v$. Dies bedeutet, dass jeder Vektor ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zur Matrix $N$ ist. Dies kann aber nur sein, wenn überhaupt nur ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
vorkommt. Es ist also $N=\lambda
\operatorname{Id}$ und man kann $\varphi$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(t)
}
{ =} { \lambda
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definieren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbelementdoppelzeiledisplay {} {\R^6} {\R^3 } { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 , \, { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 , \, { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 \right) } {,} die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x>y \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { { \left\{ (u,v) \in \R^2 \mid u^2 > 4v \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Skizziere
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {.}
b) Zeige, dass \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offen}{}{} sind.
c) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {U_1 } { U_2 } {(x,y)} { (x+y,xy) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (2+3+3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq} {1
}
{ \geq} {a
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fixiert und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f: [a,b] \rightarrow [a,b] \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {H} { M } { M } { f } { H(f) = \sqrt{f} } {,} wohldefiniert ist.
b) Es sei nun zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{ { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung $H$ aus a) eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist
\zusatzklammer {wobei $M$ mit der Maximumsnorm versehen sei} {} {.}
c) Zeige, dass $M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.
d) Bestimme den Fixpunkt von $H$.
}
{
a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch
\mathl{\sqrt{f}}{} als Hintereinanderschaltung von $f$ und $\sqrt{\, }$ wieder stetig. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{t}
}
{ \geq} { t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { t
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{t}
}
{ \leq} { t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {\sqrt{a}
}
{ =} { \sqrt{b}
}
{ =} {b
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit liegt das Bild von
\mathl{\sqrt{f}}{} wieder in
\mathl{[a,b]}{.}
b) Für
\mathl{f,g \in M}{} und
\mathl{t \in [a,b]}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sqrt{f(t) } - \sqrt{g(t) } }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ f(t) - g(t) }{ \sqrt{f(t) } + \sqrt{g(t) } } } }
}
{ \leq} { \betrag { f(t) - g(t) } { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{a } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{ { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Faktor rechts kleiner als $1$. Wenn man das Supremum über alle
\mathl{t \in [a,b]}{} nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.
c) Nach
Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist der Raum $C$ der stetigen Funktionen von
\mathl{[a,b]}{} nach $\R$ ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von
\mathl{[a,b]}{} wieder in
\mathl{[a,b]}{} liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand
\zusatzklammer {zur Maximumsnorm} {} {}
von $f$ zur konstanten Funktion $g$ mit dem Wert
\mathl{{ \frac{ a+b }{ 2 } }}{} maximal gleich
\mathl{{ \frac{ a+b }{ 2 } }}{} ist. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { B \left( g , { \frac{ a+b }{ 2 } } \right)
}
{ \subseteq} { C
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein abgeschlossener Ball in $C$. Daher ist $M$ selbst nach
Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
vollständig.
d) Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt {1}
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die konstante Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Fixpunkt von $H$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{12}
{
Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.
}
{
Nach
Lemma 56.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {v} { J } { V
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{,}
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
\zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$
\zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$} {} {.}
Die Fixpunkteigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(\psi)
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet gerade, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ = }{ w + \int_{t_0 }^t f(s, \psi(s)) ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
und das Funktional als
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
nachweisen.
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in} { J' \times U { \left( w ,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert
}
{ \leq} { L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {t \in J'} {und} {v,\tilde{v} \in U { \left( w ,\epsilon \right) }} {.}
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von
\mathl{J' \times U { \left( w ,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text { für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w ,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.}
Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ =} { [t_0- \delta,t_0+ \delta ]
}
{ \subseteq} { J'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ \epsilon/M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ 1/(2L)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{C
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text { für alle } t \in J \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei wird also $C$ mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach
Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und nach
Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung
\maabbeledisp {H} { C } { C
} {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )
} {.}
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aber nach
Satz 39.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H( \psi)(t) - w} \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M
}
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1, \psi_2
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2 } \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2 } \Vert
}
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2 } \Vert
}
}
{}{.}
Da dies für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert
}
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2 } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
\maabb {v} { J } { V
} {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{t_0 }^t f(s,v(s)) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser $F$ zu $h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ < }{ t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trifft. Zeige, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}}{} konstant ist.
}
{
Nehmen wir an, dass $\varphi$ auf dem Intervall
\mathl{I=[t_0,t_1]}{} nicht konstant ist. Dann gibt es ein
\mathl{t \in {]t_0,t_1[}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das Wegintegral
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\varphi G
}
{ =} { \int_{t_0}^{t_1} \left\langle G( \varphi(s)) , \varphi'(s) \right\rangle ds
}
{ =} {\int_{t_0}^{t_1} \left\langle \varphi'(s) , \varphi'(s) \right\rangle ds
}
{ =} {\int_{t_0}^{t_1} \Vert {\varphi'(s) } \Vert^2 ds
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei beruht die mittlere Gleichung darauf, dass $\varphi$ eine Lösung der Differentialgleichung ist. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, ist die Norm
\mathl{\Vert {\varphi'(t) } \Vert}{} positiv und daher ist wegen der Stetigkeit dieses Integral positiv. Andererseits ist $G$ ein Gradientenfeld und daher ist nach
Lemma 57.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\varphi G
}
{ =} { h(\varphi(t_1)) - h (\varphi(t_0))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja
\mathkor {} {\varphi(t_0)} {und} {\varphi(t_1)} {}
zur gleichen Faser gehören. Dies ist ein Widerspruch.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{0}
{
}
{ }