Kurs:Analysis/Teil II/12/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Fakultätsfunktion} {} \maabbeledisp {} {\R_{> -1 }} {\R } {x} { \operatorname{Fak} \, x } {.}

}{Eine \stichwort {Metrik} {} auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {abgeschlossene Menge} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem metrischen Raum $M$.

}{Eine \stichwort {Lipschitz-stetige} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen den metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}

}{Die \stichwort {Jacobi-Matrix} {} zu einer partiell differenzierbaren Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^m } {} in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}

}{Eine \stichwort {gewöhnliche Differentialgleichung} {} zu einem \zusatzklammer {zeitabhängigen} {} {} Vektorfeld. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Formel für die Länge} {} einer Kurve \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {.}}{Die \stichwort {Mittelwertabschätzung} {} für eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {,} wobei
\mathl{G \subseteq V}{} offen und \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} seien.}{Das \stichwort {notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Bestimme das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-at} \, d t} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Der $\R^n$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum \zusatzklammer {mit der induzierten Metrik} {} {} des $\R^2$, aber nicht als Teilraum von $\R$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des $\R^2$ realisieren kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{

Es sei $M$ ein nichtleerer \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {M} {M } {} \definitionsverweis {starke Kontraktionen}{}{.}

a) Zeige, das die Verknüpfung
\mathl{g \circ f}{} ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit
\mathl{M=\R}{,} dass der Fixpunkt von
\mathl{g \circ f}{} weder mit dem Fixpunkt zu $f$ noch mit dem Fixpunkt zu $g$ übereinstimmen muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne die Länge der archimedischen Spirale \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {,} für die Umdrehung zwischen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ = }{2 \pi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { ty-2t^2+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(0) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2 + y^3 + z^7 +xyz } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} { \cos \left( xy \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die Jacobi-Matrix zu $f$ in einem Punkt
\mathl{\left( x , \, y \right)}{.} }{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt
\mathl{\left( 0 , \, 0 \right)}{} ein globales Maximum besitzt. }{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vierter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x \sin y - e^{ xy } } {,} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

Es sei \maabbdisp {f} { \R} {\R } {} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und sei $g$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu $f$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y) }
{ =} { \left( { \frac{ x }{ f(y) } } , \, g(y) \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu $\varphi$.

b) Zeige, dass man auf $\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, h ( P ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n } {} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zeitpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Es sei $h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) $\varphi$ nicht konstant sein muss.

}
{} {}