Kurs:Analysis/Teil II/12/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Fakultätsfunktion} {} \maabbeledisp {} {\R_{> -1 }} {\R } {x} { \operatorname{Fak} \, x } {.}
}{Eine \stichwort {Metrik} {} auf einer Menge $M$.
}{Eine
\stichwort {abgeschlossene Menge} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem metrischen Raum $M$.
}{Eine \stichwort {Lipschitz-stetige} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen den metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Die
\stichwort {Jacobi-Matrix} {}
zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^m
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}
}{Eine \stichwort {gewöhnliche Differentialgleichung} {} zu einem \zusatzklammer {zeitabhängigen} {} {} Vektorfeld. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die
\stichwort {Formel für die Länge} {}
einer Kurve
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {.}}{Die
\stichwort {Mittelwertabschätzung} {}
für eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {,}
wobei
\mathl{G \subseteq V}{} offen und
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
seien.}{Das
\stichwort {notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Bestimme das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-at} \, d t} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Der $\R^n$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.
a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum \zusatzklammer {mit der induzierten Metrik} {} {} des $\R^2$, aber nicht als Teilraum von $\R$ realisieren kann.
b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des $\R^2$ realisieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
Es sei $M$ ein nichtleerer \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {M} {M } {} \definitionsverweis {starke Kontraktionen}{}{.}
a) Zeige, das die Verknüpfung
\mathl{g \circ f}{} ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
b) Zeige durch ein Beispiel mit
\mathl{M=\R}{,} dass der Fixpunkt von
\mathl{g \circ f}{} weder mit dem Fixpunkt zu $f$ noch mit dem Fixpunkt zu $g$ übereinstimmen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne die Länge der archimedischen Spirale
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right)
} {,}
für die Umdrehung zwischen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{2 \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { ty-2t^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2 + y^3 + z^7 +xyz } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { \cos \left( xy \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Jacobi-Matrix zu $f$ in einem Punkt
\mathl{\left( x , \, y \right)}{.}
}{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt
\mathl{\left( 0 , \, 0 \right)}{} ein globales Maximum besitzt.
}{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vierter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x \sin y - e^{ xy } } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R} {\R
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und sei $g$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $f$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} { \left( { \frac{ x }{ f(y) } } , \, g(y) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu $\varphi$.
b) Zeige, dass man auf $\varphi$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.
c) Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zeitpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Es sei $h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) $\varphi$ nicht konstant sein muss.
}
{} {}