Kurs:Analysis/Teil II/13/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 9 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Metrik} {} auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Lipschitz-stetige} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen den metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Ein
\zusatzklammer {zeitabhängiges} {} {}
\stichwort {Vektorfeld} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq \R^n}{.}
}{Die
\stichwort {partielle Differenzierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabb {f} {\R^n} { \R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine
\stichwort {Bilinearform} {}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Die
\stichwort {Integrabilitätsbedingung} {}
eines differenzierbaren
\definitionsverweis {Vektorfeldes}{}{}
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {,}
wobei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine
\stichwort {offene Teilmenge} {}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die
\stichwort {Formel für die Bogenlänge des Graphen} {}
einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {.}}{Der
\stichwort {Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}}{Der
\stichwort {Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\{P\}$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Aussage, dass eine Folge
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} im
\mathl{\R^m}{}
\zusatzklammer {versehen mit der euklidischen Metrik} {} {}
genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Beweise den Fundamentalsatz der Algebra.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Von einer Bewegung
\maabbdisp {\varphi} {]0, { \frac{ \pi }{ 2 } } [} {\R^3
} {}
sei der Geschwindigkeitsverlauf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ t } } , \, \tan { \left( t \right) } , \, e^{-t} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt. Ferner sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { (0,0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt. Bestimme $\varphi(t)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\6 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y' y + \sin t \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1} { }
mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur Ordnung $5$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es sei $f$ ein reelles Polynom in $n$ Variablen mit der Eigenschaft, dass sämtliche in $f$ vorkommenden Monome den gleichen Grad $d$ haben. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (x_1 ,x_2 , \ldots , x_n)
}
{ =} { \sum_{ (r_1 ,r_2 , \ldots , r_n) \, , \sum_j r_j = d } a_r x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(tx_1 ,tx_2 , \ldots , tx_n)
}
{ =} { t^d \cdot f(x_1 ,x_2 , \ldots , x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass $f$ kein isoliertes lokales Extremum in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ \left( 0 , \, 0 , \, \ldots , \, 0 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei $d$ ungerade. Zeige, dass $f$ kein isoliertes lokales Extremum im Nullpunkt besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+5)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {[1,2]} { \R
} {t} {g(t) = { \frac{ 1 }{ t } }
} {.}
\aufzaehlungzwei {Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{y
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {x} {und} {y} {.}
} {Bestimme das Punktepaar $(x,y)$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {,}
für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{y
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Formuliere und beweise die Mittelwertabschätzung für eine stetig differenzierbare Funktion
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen, $V,W$ euklidische Vektorräume} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (1+2+1+5)}
{
Es sei \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+2y^2 } {.}
a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld
\mathl{\operatorname{Grad} \, f}{.}
b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, f (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(0)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme in Abhängigkeit von
\mathl{(a,b)}{} den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
befindet.
d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(0)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a,b)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von $f$ am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
extremal?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zur positiven Standardparabel, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x\in \R_{\geq 0} , \, 0 \leq y \leq x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $S$ nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}