Kurs:Analysis/Teil II/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
in $a \in M$, wobei
\mathl{L,M}{} metrische Räume sind,
\mathl{T \subseteq M}{} eine Teilmenge und
\mathl{a \in M}{} ein Berührpunkt von $T$ ist.
}{Ein \stichwort {wegzusammenhängender} {} metrischer Raum $M$.
}{Die
\stichwort {Differenzierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {V
} {}
in einem Punkt
\mathl{t \in I}{,} wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
}{Ein
\zusatzklammer {zeitabhängiges} {} {}
\stichwort {Vektorfeld} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq \R^n}{.}
}{Die
\stichwort {Richtungsableitung} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {G} {W
} {}
in Richtung
\mathl{v \in V}{,} wobei
\mathl{V,W}{} endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit
\mathl{G \subseteq V}{} offen und
\mathl{v \in V}{.}
}{Eine
\stichwort {Bilinearform} {}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Folgenkriterium für die Stetigkeit} {} in einem Punkt
\mathl{x \in L}{} zu einer Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen metrischen Räumen
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}}{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Das
\stichwort {Ableitungskriterium} {}
für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
\maabbdisp {f} {I \times U } { \R^n
} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v_1,v_2
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2 \right\rangle } }
}
{ \leq} { \Vert {u} \Vert \cdot \Vert {v_1-v_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$(M,d)$. Es sei $H$ die Menge aller
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{}
der Folge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \{x_n: \, n \in \N \} \cup H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $A$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
von $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.
\matabelledreineun {\leitzeileunddrei {Jahr} {Gastgeber} {Weltmeister} } {\madoppelzeileunddrei {1970} {\text{Mexiko}} {\text{Brasilien}} {1974} {\text{Deutschland}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1982} {\text{Spanien}} {\text{Italien}} {1990} {\text{Italien}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1994} {\text{USA}} {\text{Brasilien}} {2002} {\text{Japan und Korea}} {\text{Brasilien}} }
{\madoppelzeileunddrei {2010} {\text{Südafrika}} {\text{Spanien}} {2014} {\text{Brasilien}} {\text{Deutschland} } {} {} {} }
Es sei $L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA, U \}$ die Menge der Gastgeberländer und
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall,
\mathl{W}{} ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige, dass zwischen dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
und der
\definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) }
}
{ =} { \varphi'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (5+3)}
{
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }
b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { }
mit der Anfangsbedingung
\mathl{\begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz von Schwarz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {f(x,y,z) = e^{x } yz^2 -xy
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+1+1+2)}
{
Es sei \maabb {f} {\R} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} $\int_a^b f(t) dt$ als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung \maabbeledisp {G} {\R^2} { \R } {(a,b)} { G(a,b) = \int_a^b f(t) dt } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $G$. }{Erstelle die Hesse-Matrix zu $G$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $f$ stetig differenzierbar ist. }{Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2). }{Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+1+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^6} {\R^4 } {(a,b,c,d,u,v)} {(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) } {.}
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass $\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} regulär ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion.
a) Realisiere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ als \definitionsverweis {Faser}{}{} zu einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^2} {\R } {} über $0$.
b) Es sei $f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von $f$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3 } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y - \cos \left( x+z \right) , \, x , \, 2z - \cos \left( x+z \right) \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}