Kurs:Analysis/Teil II/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der
\stichwort {Grenzwert} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
in $a \in M$, wobei
\mathl{L,M}{} metrische Räume sind,
\mathl{T \subseteq M}{} eine Teilmenge und
\mathl{a \in M}{} ein Berührpunkt von $T$ ist.
}{Ein \stichwort {wegzusammenhängender} {} metrischer Raum $M$.
}{Die
\stichwort {Differenzierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {V
} {}
in einem Punkt
\mathl{t \in I}{,} wobei $I$ ein Intervall und $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
}{Ein
\zusatzklammer {zeitabhängiges} {} {}
\stichwort {Vektorfeld} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq \R^n}{.}
}{Die
\stichwort {Richtungsableitung} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {G} {W
} {}
in Richtung
\mathl{v \in V}{,} wobei
\mathl{V,W}{} endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit
\mathl{G \subseteq V}{} offen und
\mathl{v \in V}{.}
}{Eine
\stichwort {Bilinearform} {}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Das Element
\mathl{b \in L}{} heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn es für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{\delta >0}{} gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
\mathl{x \in T \cap U { \left( a,\delta \right) }}{} ist
\mathl{f (x) \in U { \left( b,\epsilon \right) }}{.}
}{Der Raum $M$ heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten
\mathl{x,y \in M}{} eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=x} {und} {\gamma(b) =y} {}
gibt.
}{Die Abbildung $f$ heißt in
\mathl{t \in I}{} differenzierbar, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, \frac{f(t+h) -f(t)}{h}} { }
existiert.
}{Ein Vektorfeld ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f} {I \times U} {\R^n
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
}{Die Abbildung $f$ heißt differenzierbar in Richtung $v$, falls $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} in Richtung $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
\maabbeledisp {D_{ v} f} {G} {W
} {P} { { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
} {,}
die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$.
}{Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt Bilinearform, wenn für alle
\mathl{v \in V}{} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mathl{w \in V}{} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Folgenkriterium für die Stetigkeit} {} in einem Punkt
\mathl{x \in L}{} zu einer Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen metrischen Räumen
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}}{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Das
\stichwort {Ableitungskriterium} {}
für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
\maabbdisp {f} {I \times U } { \R^n
} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann im Punkt $x$
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
wenn für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $L$ mit
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =x}{} auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( \varphi (x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert $\varphi(x)$ ist.}{Jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{P \in{\mathbb C}[X]}{} über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.}{Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {\R^n
} {(t,v_1 , \ldots , v_n)} {f(t,v_1 , \ldots , v_n)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$ derart, dass die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
nach $v_j$ existieren und
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind. Dann genügt $f$
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v_1,v_2
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2 \right\rangle } }
}
{ \leq} { \Vert {u} \Vert \cdot \Vert {v_1-v_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2 \right\rangle } }
}
{ =} { \betrag { e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } } \cdot \betrag { e^{ - { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } \cdot { \left( e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2 \right\rangle } \right) } }
}
{ =} { \betrag { 1 - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2-v_1 \right\rangle } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Aufgabe 21.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 1 - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2-v_1 \right\rangle } }
}
{ \leq} { \betrag { \left\langle u , v_2-v_1 \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Satz 32.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist dies
\mathl{\leq \Vert {u} \Vert \cdot \Vert {v_2-v_1} \Vert}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$(M,d)$. Es sei $H$ die Menge aller
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{}
der Folge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \{x_n: \, n \in \N \} \cup H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $A$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
von $M$ ist.
}
{
Wir zeigen, dass das Komplement $M \setminus A$ offen ist. Es sei dazu ein Punkt
\mathbed {y \in M} {}
{y \not\in A} {}
{} {} {} {,}
gegeben. D.h. dass $y$ weder ein Folgenglied noch ein Häufungspunkt der Folge ist. Da $y$ kein Häufungpunkt ist bedeutet, dass es ein $\epsilon>0$ derart gibt, dass es in $U { \left( y,\epsilon \right) }$ nur endlich viele Folgenglieder gibt. Diese Folgenglieder seien
\mathdisp {y_1=x_{n_1}, \, y_2= x_{n_2} , \ldots , y_k= x_{n_k}} { . }
Da $y$ selbst kein Folgenglied ist, ist $y \neq y_i$ für alle $i=1 , \ldots , k$. Daher ist $d(y,y_i) >0$ für alle $i=1 , \ldots , k$ und somit
\mathdisp {\delta:= {\min { \left( d(y,y_i) , i = 1 , \ldots , k \right) } } > 0} { . }
Damit ist $U { \left( y,\delta \right) }$ eine offene Umgebung von $y$, die keine Folgenglieder enthält. Dies gilt dann erst recht für $U { \left( y,\frac{\delta}{2} \right) }$. Diese Menge enthält aber auch keinen Häufungspunkt der Folge. Wäre nämlich $z \in H \cap U { \left( y,\frac{\delta}{2} \right) }$, so würde es in $U { \left( z, \frac{\delta}{2} \right) }$ unendlich viele Folgenglieder geben, was wegen
\mathdisp {U { \left( z, \frac{\delta}{2} \right) } \subseteq U { \left( y, \delta \right) } \subseteq U { \left( y, \epsilon \right) }} { }
ein Widerspruch ist. Daher haben wir eine offene Umgebung von $y$ gefunden, die zu $A$ disjunkt ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.
\matabelledreineun {\leitzeileunddrei {Jahr} {Gastgeber} {Weltmeister} } {\madoppelzeileunddrei {1970} {\text{Mexiko}} {\text{Brasilien}} {1974} {\text{Deutschland}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1982} {\text{Spanien}} {\text{Italien}} {1990} {\text{Italien}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1994} {\text{USA}} {\text{Brasilien}} {2002} {\text{Japan und Korea}} {\text{Brasilien}} }
{\madoppelzeileunddrei {2010} {\text{Südafrika}} {\text{Spanien}} {2014} {\text{Brasilien}} {\text{Deutschland} } {} {} {} }
Es sei $L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA, U \}$ die Menge der Gastgeberländer und
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
}
{
Wir platzieren die Manschaften auf die reelle Gerade mit den Positionen
Südafrika -6
Spanien -3
Italien -1
Deutschland 0
Brasilien 1
Mexiko 2,5
USA 3
Japan 3,5.
Durch die induzierte reelle Metrik liegt ein metrischer Raum vor. Da er endlich ist, ist er vollständig. Die angegebene Abbildung verschiebt die oberen drei Mannschaften um eine Position nach unten, die untersten drei Mannschaften auf Brasilien nach oben, Brasilien auf Deutschland und Deutschland auf sich. Dies ist eine starke Kontraktion: Für zwei obere Mannschaften ist der Abstand der Bildpunkte nach Wahl der Positionen kleiner als der Ausgangsabstand. Zu einer Mannschaften von oben und einer von unten wird der Abstand der Bildpunkte auch kleiner, da sie sich aufeinander zubewegen. Je zwei der drei untersten werden durch die Abbildung vereinigt, ihr Abstand wird also $0$, und eine dieser Mannschaften hat zu Brasilien mindestens den Abstand $1,5$, während der Bildabstand zu $1$ wird.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall,
\mathl{W}{} ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige, dass zwischen dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
und der
\definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) }
}
{ =} { \varphi'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{
Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt $t$ bedeutet nach
Definition .
die Existenz des
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, \frac{\gamma (t+h) - \gamma (t)}{h}} { . }
Diese Existenz ist
\zusatzklammer {entsprechend
Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {}
dazu äquivalent, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma (t+h)
}
{ =} { \gamma(t) +h w + h \cdot r(h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer in $0$
\definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{}
$r$ mir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{w
}
{ = }{\gamma'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss} {} {.}
Dabei kann man hinten $h$ durch $\betrag { h }$ ersetzen
\zusatzklammer {wobei man auch $r(h)$ abwandeln muss} {} {.}
Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der
\definitionsverweis {totalen Differenzierbarkeit}{}{,}
und zwar ist die lineare Abbildung durch
\maabbeledisp {} {\R} {W
} {h} {hw
} {,}
gegeben. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma'(t)
}
{ =} { w
}
{ =} { \left(D\gamma\right)_{t} (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (5+3)}
{
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }
b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { }
mit der Anfangsbedingung
\mathl{\begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{.}
}
{
a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} \lambda -1 & -2 \\ -3 & \lambda -5 \end{pmatrix}
}
{ =} { (\lambda -1)(\lambda -5) -6
}
{ =} { \lambda^2-6 \lambda -1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathkor {} {3 + \sqrt{10}} {und} {3 - \sqrt{10}} {}
die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert $3 + \sqrt{10}$ berechnen wir den Kern von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ \sqrt{10} & -2 \\ -3 & -2+ \sqrt{10} \end{pmatrix}} { . }
Dies ergibt den Eigenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 2- \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}}{} zum Eigenwert $3 + \sqrt{10}$ und damit die erste Fundamentallösung
\mathdisp {e^{(3 + \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2- \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}} { . }
Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert $3 - \sqrt{10}$ berechnen wir den Kern von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 - \sqrt{10} & -2 \\ -3 & -2 - \sqrt{10} \end{pmatrix}} { . }
Dies ergibt den Eigenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 2 + \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}}{} zum Eigenwert $3- \sqrt{10}$ und damit die zweite Fundamentallösung
\mathdisp {e^{(3- \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}} { . }
Die allgemeine Lösung hat demnach die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a e^{(3 + \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}+ be^{(3- \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a (2- \sqrt{10})e^{(3+\sqrt{10})t} +b(2+ \sqrt{10}) e^{(3- \sqrt{10})t} \\-3a e^{(3 + \sqrt{10}) t} -3b e^{(3 - \sqrt{10})t} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a,b \in \R}{.}
b)
Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
so bestimmen, dass
\mathdisp {\begin{pmatrix} (2- \sqrt{10})a+(2+\sqrt{10})b \\-3a-3b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}} { }
ist. Die zweite Gleichung bedeutet
\mathl{a+b=-1}{.} Wir addieren das
\mathl{- { \frac{ 1 }{ 2- \sqrt{10} } }}{-}fache der ersten Zeile zu
\mathl{a+b=-1}{} dazu und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b(1- { \frac{ 2+ \sqrt{10} }{ 2- \sqrt{10} } } )
}
{ =} { -1 + { \frac{ 4 }{ 2- \sqrt{10} } }
}
{ =} {{ \frac{ 2 + \sqrt{10} }{ 2- \sqrt{10} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,} woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b { \frac{ -2 \sqrt{10} }{ 2- \sqrt{10} } }
}
{ =} {{ \frac{ 2 + \sqrt{10} }{ 2- \sqrt{10} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {- { \frac{ 2+ \sqrt{10} }{ 2 \sqrt{10} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} ergibt. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {-1-b
}
{ =} {-1 + { \frac{ 2+ \sqrt{10} }{ 2 \sqrt{10} } }
}
{ =} { { \frac{ 2- \sqrt{10} }{ 2 \sqrt{10} } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
\mathdisp {{ \frac{ 2- \sqrt{10} }{ 2 \sqrt{10} } } e^{(3 + \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix} - { \frac{ 2+ \sqrt{10} }{ 2 \sqrt{10} } } e^{(3- \sqrt{10})t} \cdot \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{10} \\-3 \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz von Schwarz.
}
{
Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von $\varphi$ bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $W$ können wir annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir wollen den eindimensionalen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
anwenden. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung
\mathl{(s,t) \mapsto \varphi(P+su+tv )}{} und studieren diese für hinreichend kleine $s$ und $t$. Wir fixieren diese
\zusatzklammer {für den Moment} {} {}
und betrachten die differenzierbare Abbildung
\mathdisp {\sigma \longmapsto \varphi(P+\sigma u + tv) - \varphi(P + \sigma u)} { . }
Nach
dem Mittelwertsatz
gibt es ein
\zusatzklammer {von $s$ und $t$ abhängiges} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1
}
{ \in }{ {]0,s[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \varphi(P+su+tv)-\varphi(P+su)-\varphi(P+tv)+\varphi(P)
}
{ =} { s \cdot ({ \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + t v \right) } - { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u \right) })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nun wenden wir erneut
den Mittelwertsatz
auf die differenzierbare Abbildung
\mathdisp {\tau \longmapsto { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + \tau v \right) }} { }
an, und erhalten die Existenz eines
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1
}
{ \in }{ {]0,t[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + t v \right) }- { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u \right) }
}
{ =} { t \cdot { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zusammen erhalten wir
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \varphi(P + su + tv) - \varphi(P + su) - \varphi(P+tv)+\varphi(P)
}
{ =} {st \cdot { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir
\mathkor {} {s_2} {und} {t_2} {,}
so dass dieser Ausdruck auch gleich
\mathdisp {st \cdot { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P+s_2 u+t_2 v \right) }} { }
ist. Somit schließen wir für
\zusatzklammer {hinreichend kleine} {} {}
gegebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,t
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass positive
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1,s_2
}
{ \leq }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1,t_2
}
{ \leq }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existieren mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) }
}
{ =} { { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P+s_2u+t_2v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{s \rightarrow 0}{} und
\mathl{t \rightarrow 0}{} konvergieren auch
\mathl{s_1, s_2,t_1}{} und $t_2$ gegen $0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für
\mathl{s,t \rightarrow 0}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {f(x,y,z) = e^{x } yz^2 -xy
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{.}
}
{
Die relevanten Ableitungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { e^xyz^2 -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { e^xz^2-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ =} { 2e^x yz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 x } }
}
{ =} { e^x yz^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 y } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 z } }
}
{ =} { 2e^x y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { e^x z^2 -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ =} { 2 e^x y z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ =} { 2 e^x z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } (1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (1,0,-1)
}
{ =} { e -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } } (1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 x } } (1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 y } } (1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 z } } (1,0,-1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (1,0,-1)
}
{ =} { e -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial z } } (1,0,-1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial z } } (1,0,-1)
}
{ =} { -2 e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
\mathdisp {(e-1) y + (e-1)(x-1)y - 2ey(z+1)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+1+1+2)}
{
Es sei \maabb {f} {\R} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} $\int_a^b f(t) dt$ als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung \maabbeledisp {G} {\R^2} { \R } {(a,b)} { G(a,b) = \int_a^b f(t) dt } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $G$. }{Erstelle die Hesse-Matrix zu $G$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $f$ stetig differenzierbar ist. }{Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2). }{Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals. }
}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(a,b)
}
{ =} { \int_a^b f(t) dt
}
{ =} { F(b)-F(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen von $G$ sind nach
dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G }{ \partial a } }
}
{ =} { - f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G }{ \partial b } }
}
{ =} { f(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein Punkt $(a,b)$ ist also genau dann kritisch, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { f(b)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Die Hesse-Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} -f'(a) & 0 \\ 0 & f'(b) \end{pmatrix}} { . }
}{Das Minorenkriterium sagt für einen kritischen Punkt, dass ein isoliertes lokales Maximum vorliegt, wenn $f'(a)$ positiv und $f'(b)$ negativ ist, und dass ein isoliertes lokales Minimum vorliegt, wenn $f'(a)$ negativ und $f'(b)$ positiv ist.
}{ $\,$
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+1+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^6} {\R^4 } {(a,b,c,d,u,v)} {(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) } {.}
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass $\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} regulär ist.
}
{
a) Die Jacobi-Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & v & 1 & 1 & a & b \\ d & -c & -b & a & 0 & 0 \\ c & -2b & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & -2c & b & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix hat den Rang $1$, so dass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die Determinante der vorderen $4 \times 4$-Untermatrix ist
\mathl{1 \cdot (-1)(-2) (-1) 1 =-2 \neq 0}{,} so dass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich $4$ ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion.
a) Realisiere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ als \definitionsverweis {Faser}{}{} zu einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^2} {\R } {} über $0$.
b) Es sei $f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von $f$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sind.
}
{
a) Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(x,y)
}
{ = }{y-f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. wenn
\mathl{(x,y)}{} ein Punkt des Graphen ist.
b) Wenn $f$ stetig differenzierbar ist, so ist $\psi$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix
\mathl{(-f'(x),1)}{.} Diese beschreibt eine surjektive lineare Abbildung in jedem Punkt, also ist $\psi$ in jedem Punkt regulär.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0)
}
{ =} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t)
}
{ = }{ f(t,v(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s)
}
{ = }{ f(s,v(s))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s
}
{ =} { w+ v(t)-v(t_0)
}
{ =} { v(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3 } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y - \cos \left( x+z \right) , \, x , \, 2z - \cos \left( x+z \right) \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial z } }
}
{ =} { \sin \left( x+z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x } }
}
{ =} { \sin \left( x+z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial z } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_3 }{ \partial y } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da
\mathl{\R^3}{} sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.
b) Ein
\definitionsverweis {Potential}{}{}
zu $G$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y,z)
}
{ =} { xy- \sin \left( x+z \right) + z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wie man durch Ableiten bestätigt.
}