Kurs:Analysis/Teil II/26/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe	Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe	0	4	10	0	0	4	0	0	0	0	0	0	0	0	Fehler im Ausdruck: Nicht erkanntes Satzzeichen „[“

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Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe
Lösung Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung

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Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe
Lösung Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten einen zusammengelegten Kaffeefilter. Der Winkel zwischen den beiden geraden Seiten beträgt, wenn man sie nach unten verlängert, ${}90$ Grad. Der Abstand zwischen den beiden Eckpunkten, wo die beiden Seiten sich mit dem gebogenen Rand oben treffen, beträgt ${}20$ cm. Wie groß ist der Durchmesser des oberen Kreises des Filters, der entsteht, wenn man ihn ausbreitet, um ihn befüllen zu können?

Lösung

Es sei ${}P$ der Schnittpunkt der beiden verlängerten geraden Seiten, ${}Q$ sei der linke Eckpunkt und ${}M$ sei der Mittelpunkt der oberen Verbindungsstrecke. Dann bilden ${}P,Q,M$ ein gleichschenkligens rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}M$ . Der Abstand von ${}Q$ zu ${}M$ ist ${}10$ cm und daher ist auch der Abstand von ${}M$ zu ${}P$ gleich ${}10$ cm. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand von ${}Q$ zu ${}P$ gleich ${}10{\sqrt {2}}$ cm. Dies ist zugleich der Radius des Kreises mit Mittelpunkt ${}P$ , der den oberen runden Rand beschreibt. Da dieser Rand ein Viertel des Kreises ist, ist seine Länge gleich ${}{\frac {10}{2}}{\sqrt {2}}\pi =5{\sqrt {2}}\pi$ cm. Wir betrachten nun den Kreis, der entsteht, wenn man den Filter ausbreitet. Der soeben beschriebene Rand ist die Hälfte von diesem neuen Kreisrand, dessen Gesamtlänge ist daher gleich ${}10{\sqrt {2}}\pi$ cm. Der Durchmesser dieses Kreises ist daher gleich ${}10{\sqrt {2}}$ cm.

Aufgabe (10 (1+3+2+3+1) Punkte)

Wir wollen den (minimalen) Abstand des Graphen der Exponentialfunktion zum Graphen der Identität (also der Diagonalen) verstehen.

Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion und den Graphen der Identität (die Diagonale).
Bestimme zu einem gegebenen Punkt ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ den Punkt ${}\left(x,\,x\right)$ auf der Diagonalen mit dem minimalen Abstand zu ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ .
Wie lautet das Quadrat dieses Abstandes in Abhängigkeit von ${}y$ ?
Bestimme die Punkte ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$ , in denen der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen angenommen wird.
Was ist der minimale Abstand?

Lösung

${}\,$
Es ist einfacher, mit dem Quadrat des Abstandes zu arbeiten. Der Abstand im Quadrat zwischen den Punkten ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$ ist
${}(x-y)^{2}+{\left(e^{y}-x\right)}^{2}=2x^{2}+y^{2}+e^{2y}-2xy-2xe^{y}=2x^{2}-x{\left(2y+2e^{y}\right)}+y^{2}+e^{2y}\,.$

Dies ist ein quadratisches Polynom in ${}x$ , dessen Koeffizienten von ${}y$ abhängen und dessen Leitkoeffizient positiv ist. Das Minimum dieses Ausdruckes bei vorgegebenem ${}y$ können wir durch ableiten nach ${}x$ bestimmen. Die Ableitung ist

$4x-2y-2e^{y},$

also liegt bei

${}x={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}\,$

eine Nullstelle der Ableitung vor und dort wird das globale Minimum angenommen. Dort nimmt auch der Abstand das Minimum an, da die Quadratwurzel streng monoton ist.
Zur Bestimmung des Abstandquadrates müssen wir den Wert für ${}x$ in die Formel einsetzen, dies ergibt
${}{\begin{aligned}f(y)&={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}^{2}+y^{2}+e^{2y}-{\left(y+e^{y}\right)}y-{\left(y+e^{y}\right)}e^{y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}+ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}+y^{2}+e^{2y}-y^{2}-ye^{y}-ye^{y}-e^{2y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}-ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}.\end{aligned}}$
Wir müssen das Minimum der Funktion ${}f(y)$ bestimmen. Es ist
${}{\begin{aligned}f'(y)&=y-e^{y}-ye^{y}+e^{2y}\\&={\left(e^{y}-y\right)}{\left(e^{y}-1\right)}.\end{aligned}}$
Wegen ${}e^{y}>y$ besitzt diese Ableitung genau eine Nullstelle, nämlich für ${}e^{y}=1$ , also bei ${}y=0$ . Aus der Faktorzerlegung sieht man auch, dass ${}f$ ein isoliertes Minimum in ${}y=0$ besitzt. Der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen wird also in ${}\left(0,\,1\right)$ und ${}\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)$ angenommen.
Der Abstand beträgt ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ .

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Gegeben seien die Abbildungen ${}f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ und ${}g\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ , die durch

f(x,y)=(x,y-x^{2},y^{5})\,\,{\text{  und }}\,\,g(u,v,w)=(2u-v,w)

definiert sind.

a) Ist die Abbildung ${}f$ injektiv oder surjektiv?

b) Ist die Abbildungen ${}g$ injektiv oder surjektiv?

c) Bestimme die Abbildungsvorschriften der Hintereinanderschaltungen ${}g\circ f$ und ${}f\circ g$ .

Lösung

a) ${}f$ ist injektiv, da man aus der ersten Komponente ${}x$ und damit aus der zweiten Komponente ${}y$ rekonstruieren kann. ${}f$ ist nicht surjektiv, da ${}(0,0,1)$ nicht getroffen wird. Ein Urbild ${}(x,y)$ müsste ${}x=0$ erfüllen, doch dann müsste auch

{}y=0\,

sein und der Bildpunkt wäre ${}(0,0,0)$ .

b) ${}g$ ist nicht injektiv, da alle Elemente der Form ${}(u,2u,0)$ auf ${}(0,0)$ abgebildet werden. ${}g$ ist surjektiv, da ${}(0,-v,w)$ auf ein vorgegebenes ${}(v,w$ abbildet.