Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 9 }

\renewcommand{\avier}{ 8 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 1 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 8 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

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\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

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\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelledreizehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {offene Kugel} {} mit Mittelpunkt
\mathl{x \in M}{} und Radius $r \in \R_+$ in einem metrischen Raum $M$.

}{Eine \stichwort {Lösung} {} zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
\mathl{v' =f(t,v)}{,} wobei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist \zusatzklammer {und $I$ ein Intervall und
\mathl{U \subseteq V}{} eine offene Teilmenge ist} {} {.}

}{Eine \stichwort {höhere Richtungsableitung} {} zu einer Abbildung \maabbdisp {f} {V} {W } {,} wobei
\mathl{V,W}{} endlichdimensionale ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} sind, bezüglich der Richtungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Hesse-Form} {} zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}

}{Den \stichwort {Tangentialraum} {} an die Faser einer \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} durch einen Punkt
\mathl{P \in V}{,} in dem das totale Differential surjektiv ist.

}{Die \stichwort {gleichmäßige Konvergenz} {} einer Abbildungsfolge \maabbdisp {f_n} {T} {M } {,} wobei $T$ eine Menge und $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von stetigen Abbildungen} {} \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {} mit Folgen und mit offenen Mengen.}{Der \stichwort {Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit} {.}}{Der \stichwort {Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{9}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {P(z) } {,} surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei \maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n } {} ein stetiges \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von \mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {} abhängt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} { \R^2 } {t} { \left( a t \cos \left( t+t_0 \right) , \, a t \sin \left( t+t_0 \right) \right) } {,} \zusatzklammer {zu fixierten \mathlk{a,t_0 \in \R}{}} {} {} \definitionsverweis {Lösungskurven}{}{} für die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {bei
\mathl{t >0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -y + { \frac{ x }{ t } } \\ x + { \frac{ y }{ t } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind.

b) Man gebe eine Lösung für das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zu dieser Differentialgleichung an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {y^3 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {,} die im Nullpunkt \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x^2-y^2 } {,} kein lokales Extremum besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} { \sin x^2y - e^{x+y} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mathl{P=(1,2)}{,} $v=(2,3)$ und
\mathl{w=(-1,4)}{.}

a) Berechne die Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $P$.

b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}

c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{9 (5+4)}
{

Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe \zusatzklammer {bzw. reelle} {} {} Polynome und \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y)) } {,} die zugehörige Abbildung. Die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschieden. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinante konstant ist. } {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinante nicht konstant sein muss. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die injektive Abbildung.

}
{} {}