Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 9 }
\renewcommand{\avier}{ 8 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {offene Kugel} {}
mit Mittelpunkt
\mathl{x \in M}{} und Radius $r \in \R_+$ in einem metrischen Raum $M$.
}{Eine
\stichwort {Lösung} {}
zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
\mathl{v' =f(t,v)}{,} wobei
\maabbdisp {f} {I \times U} {V
} {}
ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist
\zusatzklammer {und $I$ ein Intervall und
\mathl{U \subseteq V}{} eine offene Teilmenge ist} {} {.}
}{Eine
\stichwort {höhere Richtungsableitung} {}
zu einer Abbildung
\maabbdisp {f} {V} {W
} {,}
wobei
\mathl{V,W}{} endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
sind, bezüglich der Richtungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Hesse-Form} {}
zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}
}{Den
\stichwort {Tangentialraum} {}
an die Faser einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
durch einen Punkt
\mathl{P \in V}{,} in dem das totale Differential surjektiv ist.
}{Die \stichwort {gleichmäßige Konvergenz} {} einer Abbildungsfolge \maabbdisp {f_n} {T} {M } {,} wobei $T$ eine Menge und $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von stetigen Abbildungen} {} \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {} mit Folgen und mit offenen Mengen.}{Der \stichwort {Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit} {.}}{Der \stichwort {Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [
} {}
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]}
} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n
} {}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von
\mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {}
abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} { \R^2
} {t} { \left( a t \cos \left( t+t_0 \right) , \, a t \sin \left( t+t_0 \right) \right)
} {,}
\zusatzklammer {zu fixierten \mathlk{a,t_0 \in \R}{}} {} {}
\definitionsverweis {Lösungskurven}{}{}
für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {bei
\mathl{t >0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -y + { \frac{ x }{ t } } \\ x + { \frac{ y }{ t } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zu dieser Differentialgleichung an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {y^3 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die im Nullpunkt
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x^2-y^2 } {,} kein lokales Extremum besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { \sin x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mathl{P=(1,2)}{,} $v=(2,3)$ und
\mathl{w=(-1,4)}{.}
a) Berechne die Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $P$.
b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}
c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (5+4)}
{
Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe
\zusatzklammer {bzw. reelle} {} {}
Polynome und
\maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2
} {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y))
} {,}
die zugehörige Abbildung. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante konstant ist.
} {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante nicht konstant sein muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die injektive Abbildung.
}
{} {}