Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 9 }
\renewcommand{\avier}{ 8 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 9 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {offene Kugel} {}
mit Mittelpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Radius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$.
}{Eine
\stichwort {Lösung} {}
zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
\mathl{v' =f(t,v)}{,} wobei
\maabbdisp {f} {I \times U} {V
} {}
ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist
\zusatzklammer {und $I$ ein Intervall und
\mathl{U \subseteq V}{} eine offene Teilmenge ist} {} {.}
}{Eine
\stichwort {höhere Richtungsableitung} {}
zu einer Abbildung
\maabbdisp {f} { V } { W
} {,}
wobei
\mathl{V,W}{} endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
sind, bezüglich der Richtungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Hesse-Form} {}
zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {\R^n } {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}
}{Den
\stichwort {Tangentialraum} {}
an die Faser einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { W
} {}
zwischen endlichdimensionalen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
durch einen Punkt
\mathl{P \in V}{,} in dem das totale Differential surjektiv ist.
}{Die \stichwort {gleichmäßige Konvergenz} {} einer Abbildungsfolge \maabbdisp {f_n} { T } { M } {,} wobei $T$ eine Menge und $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die offene Kugel zum Mittelpunkt $x$ und Radius $r$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x ,r \right) }
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid d(x,y) < r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} { J } { V
} { t } {v(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {offenen (Teil)Intervall}{}{}
\mathl{J \subseteq I}{} heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{v(t) \in U}{} für alle
\mathl{t \in J}{.}
}{Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
}{Es ist
\mathl{v'(t)=f(t,v(t))}{} für alle
\mathl{t \in J}{.}
}
}{Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von $f$ in Richtung
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n-1}}{} existiert und davon die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in Richtung
\mathl{v_n}{} existiert.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f} { \R^n \times \R^n } {\R
} { (u,v) } { D_u D_v f (P)
} {,}
heißt die
Hesse-Form
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Unter dem Tangentiaraum in $P$ an die Faser versteht man
\mathdisp {{ \left\{ v \in V \mid { \left( D\varphi \right) }_{ P } { \left( v \right) } = 0 \right\} }} { . }
}{Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
\maabbdisp {f} { T } { M
} {}
derart gibt, dass es zu jedem
\mathl{\epsilon >0}{} ein $n_0$ gibt mit
\mathdisp {d { \left( f_n(x) , f(x) \right) } \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0 \text{ und alle } x \in T} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von stetigen Abbildungen} {} \maabbdisp {f} { L } { M } {} zwischen metrischen Räumen \mathkor {} {L} {und} {M} {} mit Folgen und mit offenen Mengen.}{Der \stichwort {Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit} {.}}{Der \stichwort {Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Folgende Aussagen sind äquivalent.
\aufzaehlungvier{ $f$ ist \definitionsverweis {stetig}{}{}
in jedem Punkt
\mathl{x \in L}{.}
}{Für jeden Punkt
\mathl{x \in L}{} und jedes
\mathl{\epsilon >0}{} gibt es ein
\mathl{\delta > 0}{} mit der Eigenschaft, dass aus
\mathl{d(x,x') \leq \delta}{} folgt, dass
\mathl{d(f(x),f(x')) \leq \epsilon}{} ist.
}{Für jeden Punkt
\mathl{x \in L}{} und jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $L$ mit
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =x}{} ist auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert
\mathl{f(x)}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mathl{V \subseteq M}{} ist auch das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{f^{-1}(V)}{} offen.
}}{Es sei
\mathl{G \subseteq {\mathbb K} ^n}{} offen und
\maabb {\varphi} { G } { {\mathbb K} ^m
} {}
eine Abbildung. Es seien $x_i$,
\mathl{i=1, \ldots, n}{,} die Koordinaten von ${\mathbb K} ^n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Punkt.
Es sei angenommen, dass alle
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von $P$ existieren und in $P$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind. Dann ist $\varphi$ in $P$
\definitionsverweis {(total) differenzierbar}{}{.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {h} { U } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mathl{G =
\operatorname{Grad} \, h}{.} Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
in $U$. Dann gilt für das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma G
}
{ =} { h(\gamma(b)) - h(\gamma(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{]0,1]}} { [0, \infty [
} {}
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]}
} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
}
{
Es sei $F$ eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion $f$. Nach Voraussetzung existiert
\mathdisp {F(0) := \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, F(x)} { . }
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t
}
{ =} { F(1)-F(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Addition einer Konstanten können wir $F(0)=0$ annehmen.
Zu jedem
\mathl{x \in {]0,1]}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ x } f(t) \, d t + \int_{ x }^{ 1 } f(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t
}
{ =} { F(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen der Monotonie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ x } f(t) \, d t
}
{ \geq} { x f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{x \mapsto 0}{} konvergiert das rechte Integral gegen $F(1)$ und das linke Integral gegen $0$. Daher gibt es zu jedem
\mathl{\epsilon > 0}{} ein $x_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x f(x)
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \leq x_0}{.}
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ besitzt die Stammfunktion
\mathdisp {G(y)= y f^{-1} (y) - F( f^{-1}(y))} { . }
Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für
\mathl{y \mapsto \infty}{} einen Limes besitzt. Für
\mathl{y \mapsto \infty}{} gilt
\mathl{f^{-1}(y) \mapsto 0}{} und somit ist wegen der Stetigkeit
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ y \rightarrow \infty } \, F( f^{-1}(y)) = 0} { . }
Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für
\mathl{y \mapsto \infty}{} besitzt. Dazu sei $\epsilon >0$ und sei $x_0$ wie oben gewählt. Da $f^{-1}$ fallend
\zusatzklammer {und bijektiv} {} {}
ist, gibt es ein $y_0$ mit
\mathl{f^{-1} (y_0)=x_0}{.} Daher gelten für alle
\mathl{y \geq y_0}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{y=f(x)}{}} {} {}
die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{yf^{-1}(y)
}
{ =} { f(x) f^{-1}(f(x))
}
{ =} { f(x) x
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ y \rightarrow \infty } \, y f^{-1}(y)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ y \rightarrow \infty } \, G(y) - G(0)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ y \rightarrow \infty } \, ( y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y))) - ( -F(1) )
}
{ =} { -F(0) + F(1)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $T$ abgeschlossen und eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, die in $M$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt $x$ im offenen Komplement von $T$ und daher gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der gesamte
$\epsilon$-\definitionsverweis {Ball}{}{}
\mathl{U { \left( x ,\epsilon \right) }}{} im Komplement von $T$ liegt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \cap U { \left( x ,\epsilon \right) }
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Folge aber gegen $x$ konvergiert, gibt es ein $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder
\mathbed {x_n} {}
{n \geq n_0} {}
{} {} {} {,}
zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in $T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.}
{}
\teilbeweis {}{Es sei nun $T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in $T$ konstruieren, die in $M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu $T$ gehört.\leerzeichen{}}{}
{Da $T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ \setminus T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass in jedem $\epsilon$-Ball von $x$ auch Punkte außerhalb von $U$, also in $T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \cap U { \left( x ,\frac{1}{n} \right) }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element $x_n$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in $T$. Die Folge konvergiert gegen $x$, da man sich hierzu auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { 1/n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränken kann und alle Folgenglieder
\mathbed {x_m} {}
{m \geq n} {}
{} {} {} {,}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( x ,\frac{1}{m} \right) }
}
{ \subseteq }{ U { \left( x ,\frac{1}{n} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \notin }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, konvergiert die Folge in $T$ nicht.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{
Es sei
\mathl{c \in {\mathbb C}}{} vorgegeben. Da $P$ nicht konstant ist, ist auch
\mathl{P(z)-c}{} nicht konstant und besitzt nach dem
Fundamentalsatz der Algebra
eine Nullstelle. Also gibt es ein
\mathl{w\in {\mathbb C}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)-c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(w)
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n
} {}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei
\maabbdisp {\gamma} { [a,b] } { U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von
\mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {}
abhängt.
}
{
Nach Voraussetzung können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_i(x_1 , \ldots , x_{i-1},x_i, x_{i+1} , \ldots , x_n)
}
{ =} { f_i( x_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stetigen Funktionen
\maabbdisp {f_i} { \R} {\R
} {}
schreiben. Es sei $g_i$ eine Stammfunktion zu $f_i$. Das Wegintegral ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma F
}
{ =} { \int_a^b F_1 ( \gamma(t)) \gamma_1'(t) + \cdots + F_n( \gamma(t) ) \gamma_n'(t) dt
}
{ =} { \int_a^b f_1 ( \gamma_1(t)) \gamma_1'(t) + \cdots + f_n( \gamma_n(t) ) \gamma_n'(t) dt
}
{ =} { \int_a^b f_1 ( \gamma_1(t)) \gamma_1'(t) dt + \cdots + \int_a^b f_n( \gamma_n(t) ) \gamma_n'(t) dt
}
{ =} { g_1(\gamma(t)) | _{ a } ^{ b } + \cdots + g_n(\gamma(t)) | _{ a } ^{ b }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { g_1(\gamma_1(b))- g_1(\gamma_1(a)) + \cdots + g_n(\gamma_n(b))- g_n(\gamma_n(a))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies hängt offenbar nicht vom Verlauf von $\gamma$ ab.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} { \R^2
} { t } { \left( a t \cos \left( t+t_0 \right) , \, a t \sin \left( t+t_0 \right) \right)
} {,}
\zusatzklammer {zu fixierten \mathlk{a,t_0 \in \R}{}} {} {}
\definitionsverweis {Lösungskurven}{}{}
für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {bei
\mathl{t >0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -y + { \frac{ x }{ t } } \\ x + { \frac{ y }{ t } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zu dieser Differentialgleichung an.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' (t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a t \cos \left( t+t_0 \right) \\a t \sin \left( t+t_0 \right) \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} a \cos \left( t+t_0 \right) -a t \sin \left( t+t_0 \right) \\a \sin \left( t+t_0 \right) +a t\cos \left( t+t_0 \right) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ a t \cos \left( t+t_0 \right) }{ t } } -a t \sin \left( t+t_0 \right) \\{ \frac{ a t \sin \left( t+t_0 \right) }{ t } } +a t\cos \left( t+t_0 \right) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ x(t) }{ t } } -y(t) \\{ \frac{ y(t) }{ t } } + x(t) \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
b) Wir müssen die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} a { \frac{ \pi }{ 2 } } \cos \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } +t_0 \right) \\a { \frac{ \pi }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } + t_0 \right) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Der Vektor
\mathl{\left( 2 , \, 3 \right)}{} definiert eine Gerade durch den Nullpunkt und einen eindeutigen Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dieser Geraden. Daher muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \pi }{ 2 } } + t_0
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_0
}
{ =} { \varphi- { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Der Abstand des Punktes zum Nullpunkt ist
\mathl{\sqrt{13}}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 2 \sqrt{13} }{ \pi } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(t)
}
{ =} { { \frac{ 2 \sqrt{13} }{ \pi } } t \begin{pmatrix} \cos \left( t + \varphi- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) \\ \sin \left( t+ \varphi- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung des Anfangswertproblems.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {y^3 } {.}
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die im Nullpunkt
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ \defeq} { \begin{cases} 0,\text{ falls } x = 0 \text{ oder }y = 0\, , \\ 1 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren
\mathkor {} {e_1} {bzw.} {e_2} {.}
Für jeden Richtungsvektor
\mathl{v=(a,b)}{} geht es um die Existenz des Limes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ f( (0,0) + tv) }{ t } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ f( (ta,tb) ) }{ t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mathl{a=0}{} oder
\mathl{b=0}{} ist der Zähler konstant gleich $0$, sodass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
beide nicht $0$ sind, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f( (ta,tb) )
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dann existiert der Limes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ f( (ta,tb) ) }{ t } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x^2-y^2 } {,} kein lokales Extremum besitzt.
}
{
Die Funktion
\mathl{h \mapsto h^2}{} ist für
\mathl{h \geq 0}{} streng wachsend und für
\mathl{h \leq 0}{} streng fallend, für
\mathl{h \mapsto -h^2}{} ist es umgekehrt. Daher kann man für jeden Punkt
\mathl{(x,y)}{} in einer beliebig kleinen Ballumgebung den Funktionswert von
\mathl{f(x,y)}{} erhöhen, indem man $y$ beibehält und $x$ größer
\zusatzklammer {bei $x \geq 0$} {} {}
bzw. kleiner
\zusatzklammer {bei \mathlk{x < 0}{}} {} {}
macht. Ebenso kann man den Funktionswert kleiner machen, indem man $x$ beibehält und $y$ größer
\zusatzklammer {bei \mathlk{y \geq 0}{}} {} {}
bzw. kleiner
\zusatzklammer {bei $y < 0$} {} {}
macht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+2+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { \sin x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mathl{P=(1,2)}{,} $v=(2,3)$ und
\mathl{w=(-1,4)}{.}
a) Berechne die Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $P$.
b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}
c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung
\mathl{D_vD_w f (P)}{.}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { 2xy \cos x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { x^2 \cos x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 x } }
}
{ =} { - 4x^2 y^2\sin x^2y + 2 y \cos x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { - 2x^3y \sin x^2y +2x \cos x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 f }{ \partial^2 y } }
}
{ =} { - x^4 \sin x^2y - e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Hesse-Matrix in
\mathl{P=(1,2)}{} ist somit gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} -16 \sin \left( 2 \right) + 4 \cos \left( 2 \right) - e^{3} & - 4\sin \left( 2 \right) + 2 \cos \left( 2 \right) - e^{3} \\ - 4\sin \left( 2 \right) + 2 \cos \left( 2 \right) - e^{3} & - \sin \left( 2 \right) - e^{3} \end{pmatrix}} { . }
b) Da die Hesse-Form bilinear ist, gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ D_vD_w f (P)
}
{ =} { \left( 2 , \, 3 \right) \begin{pmatrix} -16 \sin \left( 2 \right) + 4 \cos \left( 2 \right) - e^{3} & - 4 \sin \left( 2 \right) + 2 \cos \left( 2 \right) - e^{3} \\ - 4\sin \left( 2 \right) + 2 \cos \left( 2 \right) - e^{3} & - \sin \left( 2 \right) - e^{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \left( 2 , \, 3 \right) \begin{pmatrix} 16 \sin \left( 2 \right) - 4 \cos \left( 2 \right) + e^{3} - 16 \sin \left( 2 \right) + 8 \cos \left( 2 \right) -4 e^{3} \\ 4 \sin \left( 2 \right) - 2 \cos \left( 2 \right) + e^{3} -4 \sin \left( 2 \right) -4e^3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \left( 2 , \, 3 \right) \begin{pmatrix} 4 \cos \left( 2 \right) -3 e^{3} \\ -2 \cos \left( 2 \right) - 3 e^3 \end{pmatrix}
}
{ =} { 2 \cos \left( 2 \right) - 15 e^3
}
}
{}
{}{.}
c) Für einen beliebigen Punkt
\mathl{(x,y)}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_w f (x,y)
}
{ =} { h'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h(t)
}
{ =} { f( (x,y)+ tw)
}
{ =} { \sin \left( (x-t)^2(y+4t) \right) - e^{x+y+3t}
}
{ =} { \sin \left( x^2y +(4x^2-2 xy) t +(-8x+ y ) t^2 +4 t^3 \right) - e^{x+y+3t}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h'(t)
}
{ =} { { \left( 4x^2-2 xy +2 (-8x+ y ) t +12 t^2 \right) } \cos \left( x^2y +(4x^2-2 xy) t +(-8x+ y ) t^2 +4 t^3 \right) - 3 e^{x+y+3t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit für
\mathl{t=0}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_w f (x,y)
}
{ =} { h'(0)
}
{ =} { { \left( 4x^2-2 xy \right) } \cos \left( x^2y \right) - 3 e^{x+y}
}
{ \defeqr} { g(x,y)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gleiche Verfahren, angewendet auf diese Funktion, den Vektor $v$ und die Hilfsfunktion
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{p(t)
}
{ =} { { \left( 4(x+2t)^2 -2 (x+2t)(y+3t) \right) } \cos \left( (x+2t)^2( y+3t) \right) - 3 e^{x+y+5t}
}
{ =} { { \left( 4 x^2+ 16xt +16 t^2 -2 xy -6 xt -4 y t -12 t^2 \right) } \cos \left( x^2y+ (4xy+3x^2)t +(12x+y) t^2 +12t^3 \right) - 3 e^{x+y+5t}
}
{ =} { { \left( 4x^2 -2 xy +(10x-4y)t +4 t^2 \right) } \cos \left( x^2y+ (4xy+3x^2)t +(12x+y)t^2 +12t^3 \right) - 3 e^{x+y+5t}
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p'(t)
}
{ =} { - { \left( 4x^2 -2 xy +(10x-4y)t +4 t^2 \right) } { \left( 4xy+3x^2 +2(12x+y)t +36t^2 \right) } \sin \left( x^2y+ (4xy+3x^2)t +(12x+y)t^2 +12t^3 \right) - { \left( 10x-4y -8 t \right) }\cos \left( x^2y+ (4xy+3x^2)t +(12x+y)t^2 +12t^3 \right) - 15 e^{x+y+5t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_v g (x,y)
}
{ =} { p'(0)
}
{ =} {- { \left( 4x^2 -2 xy \right) } { \left( 4xy+3x^2 \right) } \sin \left( xy \right) - { \left( 10 x-4y \right) }\cos \left( x^2y \right) - 15 e^{x+y}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{P=(x,y)= (1,2)}{} ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ D_v D_w f (1,2)
}
{ =} { D_v g (1,2)
}
{ =} { - { \left( 4x^2 -2 xy \right) } { \left( 4xy+3x^2 \right) } \sin \left( 2 \right) +2 \cos \left( 2 \right) - 15 e^{3}
}
{ =} { 2 \cos \left( 2 \right) - 15 e^{3}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (5+4)}
{
Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe
\zusatzklammer {bzw. reelle} {} {}
Polynome und
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y))
} {,}
die zugehörige Abbildung. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante konstant ist.
} {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante nicht konstant sein muss.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die partiellen Ableitungen zu $\varphi$ sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { P_n X^n + P_{n-1} X^{n-1} + \cdots + P_1 X^1 +P_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $P_i$ Polynome in $Y$ sind und
\mathl{P_n \neq 0}{.} Es sei $D$ nicht konstant. Dann ist entweder (i)
\mathl{n \geq 1}{} oder (ii)
\mathl{n=0}{} und
\mathl{P_0}{} ist ein nichtkonstantes Polynom in $Y$. Im ersten Fall gibt es einen Wert $y$ derart, dass
\mathl{P_n(y) \neq 0}{} ist. Dann ist
\mathl{D(X,y)}{} ein nichtkonstantes Polynom in $X$. In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
gibt es dann ein
\mathl{x \in {\mathbb C}}{} mit
\mathl{D(x,y) =0}{} im Widerspruch zur Voraussetzung.
} {Wir betrachten die reellen Polynome
\mathdisp {P=X-Y \text{ und } Q=X^3 +Y^3 +Y} { . }
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial P }{ \partial X } } & { \frac{ \partial P }{ \partial Y } } \\ { \frac{ \partial Q }{ \partial X } } & { \frac{ \partial Q }{ \partial Y } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3X^2 & 3Y^2 +1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Determinante
\mathdisp {3Y^2 +1 +3X^2} { . }
Dies ist stets
\mathl{\geq 1 > 0}{} und insbesondere nirgendwo gleich $0$. Die Determinante ist aber nicht konstant.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die injektive Abbildung.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( D\varphi \right) }_{ P } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
des totalen Differentials
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Nach
[[Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/3/Klausur mit Lösungen/latex (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (1)]]
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( B \right) }
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir
ergänzen
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $B$ durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-k}}{} zu einer Basis von $W$ und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \langle w_1 , \ldots , w_{n-k} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {G \times C} {W
} {(v,w)} { \varphi(v) +w
} {,}
wobei links und rechts zwei $n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {G \times C \stackrel{\varphi \times \operatorname{Id}_C \, }{\longrightarrow} W \times C \stackrel{+}{ \longrightarrow} W} { }
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
und das totale Differential ist
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P} + i_C}{,} wobei
\maabb {i_C} { C } { W
} {}
die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
im Punkt
\mathl{(P,0)}{,} da sowohl $B$ als auch $C$ zum Bild gehören, und somit
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
Wir können also
den Satz über die Umkehrabbildung
anwenden und erhalten
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G \times C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{(\varphi \times \operatorname{Id}_C) {{|}}_{U_1 }}{} ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
zwischen
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_3 \times U_4
}
{ \subseteq }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_3
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U_4
}
{ \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die Abbildung
\maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_3 }} {U_3 } { W
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da dies die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {U_3 \longrightarrow U_3 \times U_4 \longrightarrow U_2 \subseteq W} { }
mit
\mathl{Q \mapsto (Q,0)}{} ist.
}