Kurs:Analysis/Teil II/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 11 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 12 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 64 }
\renewcommand{\avierzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwoelf
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Abstandsfunktion} {}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Ein
\stichwort {Berührpunkt} {}
zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{} eines
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{}
$M$.
}{Ein \stichwort {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten} {} \zusatzklammer {über ${\mathbb C}$} {} {.}
}{Ein \stichwort {isoliertes lokales Minimum} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {M} {\R } {} auf einem metrischen Raum $M$.
}{Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, \stichwort {einer Lipschitz-Bedingung zu genügen} {.}
}{Eine
\stichwort {sternförmige} {}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^n}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Vergleichskriterium} {} für eine fallende Funktion \maabbdisp {} {[0, + \infty[} { \R_{\geq 0} } {.}}{Der \stichwort {Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen} {.}}{Der \stichwort {Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (4+7)}
{
a) Sei
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {monoton fallende}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t} { }
existiert. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, f(t) =0} { }
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätzung} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}
Beweise die Längengleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(\gamma)
}
{ =} {L( \varphi \circ \gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^3
} {t} {{ \left( t^2,-t^2+1,t \right) }
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { { \left( y^2-xz,xyz,5x^2z-yz \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+1+1+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ x^3 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
a) Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu $f$ im Nullpunkt in jede Richtung die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} existiert.
d) Zeige, dass $f$ im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestätige die Kettenregel für
\mathl{g \circ f}{} für die beiden differenzierbaren Abbildungen
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {(t^3-t,-t^2)
} {,} und
\maabbeledisp {g} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xy+x+y
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {(\R_+ \times \R ) \setminus \{(2,4), (4,2) \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Begründe, ob die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {U} { \R^3
} {(x,y)} {(x+y,xy,x^y) = (u,v,w)
} {.}
injektiv ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (4+4+4)}
{
Es soll eine
\zusatzklammer {quaderförmige} {} {}
Schachtel mit den Seitenlängen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angefertigt werden, deren Inhalt gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{abc
}
{ =} { 1000 \, \rm{cm}^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein soll.
a) Wie müssen
\mathl{a,b,c,}{} gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch
\zusatzklammer {also extremal sein könnte} {} {}
wird?
b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?
c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche \zusatzklammer {vorne und hinten} {} {} mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?
}
{} {}