Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 4 3 7 8 4 5 3 3 4 2 8 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Die Gaußklammer zu einem Element in einem archimedisch angeordneten Körper .
  4. Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen und .
  5. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  6. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  7. Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
  8. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
    in einem Punkt .
  3. Das Additionstheorem für den Sinus.
  4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass es stetige Funktionen

mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten das Polynom

Bestimme die -Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an im Punkt mit dem Graphen von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (4 Punkte)

Die beiden lokalen Extrema der Funktion

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

b) Bestimme eine Stammfunktion von

c) Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

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