Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das Bild einer Abbildung
-
- Eine Cauchy-Folge
in einem angeordneten Körper
.
- Die Gaußklammer
zu einem Element
in einem archimedisch angeordneten Körper
.
- Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen
und
.
- Die Stetigkeit in einem Punkt
einer Abbildung
.
- Die Differenzierbarkeit in einem Punkt
einer Abbildung
.
- Eine Stammfunktion einer Abbildung
auf einer offenen Menge
.
- Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
-
wobei
-
eine
Funktion
auf einer offenen Teilmenge
ist.
Lösung
- Das Bild von
ist die Menge
-
- Eine
Folge
in
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
-

gilt.
- Die Gaußklammer
ist die größte ganze Zahl
.
- Die Mengen
und
heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung
-
gibt.
- Man sagt, dass
stetig im Punkt
ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
- Man sagt, dass
differenzierbar in
ist, wenn der
Limes
-
existiert.
- Eine Funktion
-
heißt Stammfunktion zu
, wenn
auf
differenzierbar
ist und
für alle
gilt.
- Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine
Funktion
-
auf einem mehrpunktigen
Intervall
, die folgende Eigenschaften erfüllt.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Lösung
Lösung
Entscheide, ob die
reelle Folge
-

(mit
)
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
in einem Punkt
.
Lösung
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von
im Punkt
und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen
konvergente Folge
die Bildfolge
gegen
konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Sei (1) erfüllt und sei
eine Folge in
, die gegen
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
-

ist. Dazu sei
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
gegen
gibt es eine natürliche Zahl
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Nach der Wahl von
ist dann
-
so dass die Bildfolge gegen
konvergiert.
Sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass
nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu
maximal gleich
ist, deren Wert
unter der Abbildung aber zu
einen Abstand besitzt, der größer als
ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
,
.
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge
konvergiert gegen
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
zumindest
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
Zeige, dass es stetige Funktionen
-
mit
derart gibt, dass für alle
weder
noch
die Nullfunktion ist.
Lösung
Wir betrachten die Zerlegung von
in die unendlich vielen halboffenen Intervalle
für
und
. Auf
,
, definieren wir die stetige Funktion
durch

Diese Funktion hat an den Intervallgrenzen den Wert
. Die Ableitung ist
-
das Maximum liegt also im arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen vor und besitzt den Wert

Mit Hilfe dieser Funktionen definieren wir
-
und
-
Diese Funktionen sind stetig: Dies ist im Innern der Intervalle klar; an den Intervallgrenzen liegt stets der Wert
vor; für den Nullpunkt ergibt sich die Stetigkeit, da die Funktionen auf
durch
beschränkt sind. Offenbar ist
und für jedes
sind weder
noch
die Nullfunktion.
Lösung
Wir betrachten die durch
-
definierte Funktion
-
Zeige, dass es zu jedem
, eine Nullfolge
derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
-
gegen
konvergiert.
Lösung
Bestimme für die Funktion
-
die Extrema.
Lösung
Wir schreiben

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
-

Die Bedingung
führt durch Multiplikation mit
und Division durch
(die beide nicht
sind) auf
-

Daher muss
-

sein, woraus sich
-

also
ergibt. Die zweite Ableitung ist

und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.
Lösung
Die erste Ableitung ist
-
Die zweite Ableitung
ist
-
Die dritte Ableitung ist
-
Die vierte Ableitung ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad
ist demnach
-
bzw.
-
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
-

definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
Lösung
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
-
über
.
Lösung
Eine Stammfunktion ist
-
Daher ist das bestimmte Integral gleich

Aufgabe (8 (4+1+3) Punkte)
a) Bestimme die
reelle Partialbruchzerlegung
von
-
b) Bestimme eine
Stammfunktion von
-
c) Bestimme eine Stammfunktion von
-
Lösung
Es ist
-

Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, so dass die Partialbruchzerlegung die Gestalt
-
mit reellen Zahlen
besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt
-

Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also
.
Einsetzen von
ergibt
, also ist
, also
.
Einsetzen von
ergibt
-

Also ist
und daher
. Die Partialbruchzerlegung ist also
-

b) Eine Stammfunktion von
-

ist
-
c) Es ist
-

Wir wenden die Standardsubstitution
an und erhalten

Nach Teil b) ist
-
eine Stammfunktion von
.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Lösung