Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 5 3 3 8 4 3 2 5 3 4 5 6 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .

  4. Der natürliche Logarithmus
  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  6. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  7. Die Lösung eines Anfangswertproblems

    zu einer Funktion

  8. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  2. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  3. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  4. Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper.

Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Summe


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von .


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

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